2020年高考数学一轮复习考点题型课下层级训练26平面向量的概念及其线性运算（含解析）

课下层级训练(二十六) 平面向量的概念及其线性运算

[A级 基础强化训练]

→

1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→

与BA相等．则所有正确命题的序号是( )

A．① C．①③

B．③ D．①②

【答案】A [根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向→→

不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB与BA互为相反向量，故③错误．]

→→

2．(2019·山东胶南月考)向量AB与CD共线是A，B，C，D四点共线的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

→→→

【答案】B [由A，B，C，D四点共线，得向量AB与CD共线，反之不成立，可能AB∥CD，所以向量AB与→

CD共线是A，B，C，D四点共线的必要不充分条件．]

→

3．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( ) 3→1→A．AB－AC 443→1→C．AB＋AC 44

【答案】A [作出示意图如图所示．

1→3→

B．AB－AC 441→3→D．AB＋AC 44

→

EB＝ED＋DB＝AD＋CB

11→→1→→3→1→

＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.] 22244

4．(2017·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( ) A．a⊥b C．a∥b

B．|a|＝|b| D．|a|>|b|

2

2

→→

1→1→

22

【答案】A [方法一 ∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|＝|a－b|. ∴a＋b＋2a·b＝a＋b－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b.

方法二 利用向量加法的平行四边形法则．

2

2

2

2

→→

在□ABCD中，设AB＝a，AD＝b， →→

由|a＋b|＝|a－b|知|AC|＝|DB|，

从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.]

11→

5．(2019·江西八校联考)在△ABC中，P，Q分别是边AB，BC上的点，且AP＝AB，BQ＝BC.若AB＝a，

33→

AC＝b，则PQ＝( )

11

A．a＋ b 3311C．a－b 33

11

B．－a＋b

3311D．－a－b

33

→

1→1→11→→→2→1→2→1→→

【答案】A [PQ＝PB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.]

33333333

→→

6．(2019·山东淄博月考)已知a，b是不共线的两个向量，向量AB＝λa＋b，AC＝a＋μb(λ，μ∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件为( )

A．λ＋μ＝2 C．λμ＝1

B．λ－μ＝1 D．λμ＝－1

→→

【答案】C [∵向量a和b不共线，∴AB和AC为非零向量，则A，B，C三点共线的充要条件为?k(k≠0)，→→

使得AB＝kAC，即λa＋b＝k(a＋μb)＝ka＋kμb，∵a和b不共线，∴λ＝k,1＝kμ，∴λμ＝1.]

→

7．(2019·山东枣庄月考)在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设AB＝a，→

AD＝b，则向量BF＝( )

12A．a＋b 3312C．－a＋b

33【答案】C [如图，

12B．－a－b

3312D．a－b 33

→

BFAB12→2→2→→2?1?

因为点E为CD的中点，CD∥AB，所以＝＝2，所以BF＝BE＝(BC＋CE)＝?b－a?＝－a＋b.]

EFEC333?2?33x→→→→→

8．(2019·辽宁大连双基测试)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则＝________.

y31→→→→→→→→3→1→

【答案】3 [由题设可得CA＋AM＝3(AB－AM)，即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝AB＋AC，则x＝，y＝，

4444

故＝3.]

9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.

1

【答案】 [由于λa＋b与a＋2b平行，所以存在μ∈R，使得λa＋b＝μ(a＋2b)，即(λ－μ)a＋

21

(1－2μ)b＝0，因为向量a，b不平行，所以λ－μ ＝0,1－2μ＝0，解得λ＝μ＝.] 2

→→→

10．在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是________.

→→?1?【答案】?0，? [由题意可求得AD＝1，CD＝3，∴AB＝2DC，

?2?→→

∵点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)．

2μλ→→→→→→→→→2μ→

∵AE＝AD＋DE，又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋DE，∴＝1，即μ＝，∵0≤λ≤1，∴

λλ21

0≤μ≤. 2

xy?1?即μ的取值范围是?0，?.] ?2?

[B级 能力提升训练]

→3→3→

11．(2019·山东济南月考)设M是△ABC所在平面上的一点，且MB＋MA＋MC＝0，D是AC的中点，则

22→

|MD|

的值为( ) →|BM|

1A． 3C．1

1B． 2D．2

→→

【答案】A [∵D是AC的中点，∴DA＋DC＝0. →3→3→

又∵MB＋MA＋MC＝0，

22

3→→3→→→→→

∴MB＝－(MA＋MC)＝－(DA－DM＋DC－DM )，

22→

|MD|1→→→1→

即MB＝3DM，故MD＝BM，∴＝.]

3→3

|BM|

→→→→

12．(2019·山西太原模拟)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( )

A．2 C．4

B．3 D．8

→→→→→→

【答案】A [∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)， →→→→→→

∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且方向相同，

S△ABCBC|CB|S△ABC∴＝＝＝3，∴S△PAB＝＝2.] S△PABAP→3

|PA|

→→→

13．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝5e1，DC＝3e2，则OC＝________.(用e1，e2表示) 53→1→1→→1→→

【答案】e1＋e2 [在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以OC＝AC＝(AB＋AD)＝(DC＋BC)

222221

＝(5e1＋3e2)．] 2

→→→

14．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是__________.

→→→→→→→→→λ→【答案】(1，＋∞) [设OC＝mOD，则m>1，因为OC＝λOA＋μOB，所以mOD＝λOA＋μOB，即OD＝OA→

m＋

μ→

OB， 又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.] mmm→→→

15．(2019·山东菏泽模拟)如图，有5个全等的小正方形，BD＝xAE＋yAF，则x＋y的值是________.

λμ

→→→→→→→→→→

【答案】1 [因为BD＝AD－AB，而AD＝2AE，AB＝AH＋HB＝2AF－AE， →→→→→→→→所以BD＝AD－AB＝2AE－(2AF－AE)＝3AE－2AF.

→→→→→→→→→又AE，AF不共线，且BD＝xAE＋yAF，所以xAE＋yAF＝3AE－2AF， 所以x＝3，y＝－2，故x＋y＝1.]