2010高考数学最后30天冲刺练习：导数

F(2)?2?2ln2?2a．

（Ⅱ）证明：由a≥0知，F(x)的极小值F(2)?2?2ln2?2a?0．

?∞)，恒有F(x)?xf?(x)?0． 于是由上表知，对一切x?(0，?∞)内单调增加． 从而当x?0时，恒有f?(x)?0，故f(x)在(0，?所以当x?1时，f(x)?f(1)x?lnx?2alnx?．1

32例30、已知函数f(x)?x?ax?x?1，a?R．（Ⅰ）讨论函数f(x)的单调区间；

20当x?1时，恒有0，即x?1?lnx?2alnx?故

2（Ⅱ）设函数f(x)在区间????23，?1??内是减函数，求a的取值范围． 3?2322解：（1）f(x)?x?ax?x?1求导：f?(x)?3x?2ax?1当a≤3时，?≤0，

f?(x)≥0，f(x)在R上递增

?a?3a?32当a?3，f?(x)?0求得两根为x???a?a2?3?a?a2?3，??33?22??a?a?3即f(x)在???，?3???递增，?????a?a2?3?，???递增 ?递减，????3?????a?a2?32≤??7?332（2）?，且a?3解得：a≥

241??a?a?3≥??33?432例31、已知函数f(x)?x?ax?2x?b（x?R），其中a,b?R．（Ⅰ）当a??103时，

讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅱ）若函数f(x)仅在x?0处有极值，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的a?[?2,2]，不等式f?x??1在[?1,1]上恒成立，求b的取值范围． （Ⅰ）解：f?(x)?4x?3ax?4x?x(4x?3ax?4)．

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当a??103时，f?(x)?x(4x2?10x?4)?2x(2x?1)(x?2)．

12令f?(x)?0，解得x1?0，x2?，x3?2．

当x变化时，f?(x)，f(x)的变化情况如下表： x

f?(x) f(x)

(??,0)

0 0 极小值

1(0,) 212 (12,2) 2 0 极小值

(2,??)

－ ↘

1＋ ↗

0 极大值

－ ↘

1＋ ↗

所以f(x)在(0,)，(2,??)内是增函数，在(??,0)，(,2)内是减函数．

222（Ⅱ）解：f?(x)?x(4x?3ax?4)，显然x?0不是方程4x?3ax?4?0的根．

2为使f(x)仅在x?0处有极值，必须4x?3ax?4?0成立，即有??9a?64?0． 解些不等式，得?83?a?8322．这时，f(0)?b是唯一极值．

88,]． 3322因此满足条件的a的取值范围是[?（Ⅲ）解：由条件a?[?2,2]，可知??9a?64?0，从而4x?3ax?4?0恒成立． 当x?0时，f?(x)?0；当x?0时，f?(x)?0．

因此函数f(x)在[?1,1]上的最大值是f(1)与f(?1)两者中的较大者．

?f(1)?1?f(?1)?1为使对任意的a?[?2,2]，不等式f(x)?1在[?1,1]上恒成立，当且仅当??b??2?a，在a?[?2,2]上恒成立． ??b??2?a，即

所以b??4，因此满足条件的b的取值范围是(??,?4]．

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