第4章 具有趋势的模型

第4章 具有趋势的模型

自相关函数可用来考察一个序列中是否存在趋势。如果一个时间序列的ACF缓慢递减趋于0，这说明这个时间序列可能是一个单位根过程或是趋势平稳过程。可用正规的统计检验来确定一个系统是否有趋势、趋势是确定的还是随机的。但是，目前所有的检验在区分近似单位根过程与单位根过程时，功效都比较低。为此，本章将介绍下面五个问题：

（1）对于均值随时间变化的时间序列，它的趋势可能是确定性的，也可能包含随机成分。在做假设检验或做长期预测时，正确模拟这个趋势是致关重要的。 （2） 说明Dickey-Fuller的单位根检验和扩展的Dickey-Fuller的单位根检验。这些检验也可用来帮助检测随机趋势的存在。给出几种检验的形式（包括季节单位根检验）。为了详述这些统计量，需要介绍Monte Carlo实验。

（3）考虑存在结构性变化时的单位根检验。结构性变化可使趋势检验变得复杂；政治体制的变化可导致结构性变化，使一个平稳序列显示出非平稳性。

（4）给出检验一个序列是否包含一个单位根的一般方法。单位根检验对确定性回归变量（如，截距项，确定性时间趋势项）的存在非常敏感。对此，有一个比较合理的程序来识别这个过程。如果不知道真实的数据生成过程是否包含确定性部分时，就可以使用这些程序。不过，对这些检验结果也还是需要慎重一些，因为（a）这些检验在区分单位根过程和拟单位根过程时有较低的功效。（b）也许会出现对确定性回归变量的设定不适当。

（5）把一个具有趋势的序列分解成平稳和趋势成分。给出把一个序列分解成暂时部分和持久部分的几种方法。

1 确定性趋势和随机趋势

通常需要把一个线性随机差分方程的一般解表示成下面三个不同部分 yt= 趋势 + 平稳成分 + 噪声

在第2章我们已经知道如何利用Box-Jenkins方法来对平稳成分进行建模。第

3章已经知道如何对残差（噪声）的方差进行建模。计量经济学家的重要任务是研究出简单的随机差分方程模型来模拟具有趋势变量的行为。考察图4-1，实际GDP?rgdpt?的明显特征是随着时间而增加。对这个序列，也许有人用下面多项式估计这个趋势的持续增加：

rgdpt?2.224?0.385t?0.0003t2?1.85E?6t3 （4.1.1）

（61.27）（20.89）（-6.78）（12.17）

600050004000300020001000505560657075GDP80859095 图4.1 实际GDP是确定性趋势吗？

尽管t-统计量是显著的，但用这个模型表示实际GDP的趋势是有问题的。因为在这个趋势中没有随机成分，（4.1.1）说明实际经济有确定性的长期增长率。

“实际经济周期”学派认为技术进步对经济的趋势有长期效应。由于技术革新是随机的，趋势中应反映这种随机性。其它宏观经济学派也认为趋势并不完全是确定性。例如，石油价格冲击或减税可以影响投资和经济的长期增长率。

（联邦基金利率） （某种债券收益）

201614121210884641960196519701975FF198019851960196519701975AAA19801985160

图4.2 短期和长期利率

联邦基金利率和美国联邦政府10年期债券收益率在图4.2中。两种利率没

有明显的增加或减少的趋势。没有结构性间断使均值发生改变。两个序列没有返回到长期均值的趋势。如果把趋势定义为一个序列的“持久”或“不衰减”的成分，那么这两个序列都有趋势。

趋势平稳（TS）模型

如果一个序列从某期到下期总是变化相同固定的数量，如 ?yt?a0 这个差分方程的解为 yt?y0?a0t

因此，?yt?a0的解是一个确定性线性趋势，现在如果把平稳成分A(L)?t增加到到这个趋势中，有

yt?y0?a0t?A(L)?t （4.1.2）

在（4.1.2）中，yt可以偏离它的趋势值大约A(L)?t。这个偏差是平稳的，?yt?是暂时偏离这个趋势。yt?s的长期预报将收敛到y0?a0(t?s)。这类模型被称为趋势平稳（TS）模型。

24201612840-41020304050Y60708090100

随机趋势模型

现在假设yt的预期变化是a0单位，令?yt等于a0加上白噪声：

?yt?a0??t （4.1.3） 由于Et?1?t?0，（4.1.3）说明：yt由一个时期到下一个时期的预期变化是a0单位。模型（4.1.3）是模拟包含随机趋势的时间序列的基本模型。在这种情况下，（4.1.3）中yt的趋势与（4.1.2）中yt的趋势有本质的不同。若y0是初值条件，差分方程（4.1.3）的解为

yt?y0???i?a0t

i?1t这里yt含有确定性趋势成分a0t和成分y0???i。我们称第二个成分为随机截距项。在没有任何冲击的条件下，截距项为y0。但是，每个冲击?i都使截距项有一个平移。由于??i?的系数并不是衰减（都为1），每个对截距项的冲击效应都是持久的。这种序列被称为随机趋势。我们考虑下面三种类型的随机趋势：

（一）随机游动模型

在（4.1.3）中，a0?0时称为随机游动模型，它在经济与金融文献中有特殊的地位。例如，“有效市场”假说认为：股票价格从一天到下一天的变化是一个随机游动，所以

yt?y?t1?? t （或?yt??t） （4.1.4） 如果y0是初始条件，则这个随机游动的解 yt?y0???i

i?1t