205年数学小升初复习讲义四年级第12讲《加乘原理与归纳递推》

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1. 加法和乘法原理

加法原理：分类计数，类类独立

乘法原理：分步计数，步步相关

关联词区分：可以…也可以 … 加法原理

先…再…又 … 乘法原理

2. 图形染色：从与周边接壤最多的区域入手

每讲练习题题量 7 道，前 5 道题目难度较低，适合基础巩固；后 2 道题难度

中等，适合拓展提高。

1.地图上有 A，B，C，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻

国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？

2.如右图，有 A，B，C，D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，

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每个区域染一色．有多少种染色方法？

3.如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国

家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？

4.如图，地图上有 A，B，C，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色

不相同，有多少种不同染色方法?

5.用1? 3 的小长方形覆盖 3?? 8 的方格网，共有多少种不同的盖法？

6．分别用五种颜色中的某一种对下图的 A ， B ， C ， D ， E ， F 六个区域染21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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色，要求相21世纪教育网版权所有

邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？

7.如下图，一只蜜蜂

里 B 处，每次只能从一个蜂房爬向右侧邻近的蜂房

而不准逆行，共有多少种回家的方法？

从 A 处出发，回到家

1.解析： A 有 3 种颜色可选；

当 B，C 取相同的颜色时，有 2 种颜色可选，此时 D 也有 2 种颜色可选．根据乘 法原理，不同的涂法有 3? 2?? 2?? 12 种； 当 B，C 取不同的颜色时，B 有 2 种颜色可选，C 仅剩 1 种颜色可选，此时 D 也只 有 1 种颜色可选(与 A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有 3? 2??1?1?? 6种． 综上，根据加法原理，共有12?? 6?? 18 种不同的涂法．

2.解析： A 有 4 种颜色可选，然后分类：

第一类：B ，D 取相同的颜色．有 3 种颜色可染，此时 D 也有 3 种颜色可选．根 据乘法原理，不同的染法有 4?? 3? 3?? 36 （种）； 第二类：当 B ， D 取不同的颜色时， B 有 3 种颜色可染， C 有 2 种颜色可染， 此时 D 也有 2 种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有 4?? 3? 2?? 2?? 48 （种）．

根据加法原理，共有 36?? 48?? 84 (种)染色方法． 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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3.解析： 因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边

界进行直角化就会转化为原题，

所以对这幅地图染色同样一共有 4?? 3? 2?? 2?? 2?? 96 种方法．

4.解析： 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作： 第一步：给 A 染色，有 5 种颜色可选． 第二步：给 B 染色，由于 B 不能与 A 同色，所以 B 有 4 种颜色可选． 第三步：给 C 染色，由于 C 不能与 A 、 B 同色，所以 C 有 3 种颜色可选． 第四步：给 D 染色，由于 D 不能与 B 、 C 同色，但可以与 A 同色，所以 D 有 3 种

颜色可选．

根据分步计数的乘法原理，用 5 种颜色给地图染色共有 5?? 4?? 3? 3?? 180 种不同的 染色方法．

5.解析：如果用1? 3 的长方形盖 3?? n 的长方形，设种数为 an ,则 a1?? 1， a2?? 1, a3?? 2 ,对于21教育网

n?? 4 ，左边可能竖放 1 个1? 3 的，也可能横放 3 个1? 3 的，前者有 an -1 种，后者有 an -321cnjy.com

种，所以 an?? an-1?? an-3 ,依照这条递推公式列表：

所以用1? 3 的小长方形形覆盖 3?? 8 的方格网，共有 13 种不同的盖法．

6.解析：先按 A ， B ， D ，C ， E 的次序染色，可供选择的颜色依次有 5，4，3，2，3 种，21·cn·jy·com

注意 E 与 D 的颜色搭配有 3? 3?? 9 (种)，其中有 3 种 E 和 D 同色，有 6 种 E 和 D 异www.21-cn-jy.com 色．最后染 F ，当 E 与 D 同色时有 3 种颜色可选，当 E 与 D 异色时有 2 种颜色可

选，所以共有 5?? 4?? 2?? (3? 3?? 6?? 2)?? 840 种染法．

7.解析：按照蜜蜂只能从小号码的蜂房爬近相邻大号码的蜂房的原则，运用标号法进行计算．

如右图所示，小蜜蜂从 A 出发到 B 处共有 296 种不同的回家方法．

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