初三数学圆知识点复习专题经典

《圆》章节知识点复习

一、圆的概念

集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；

4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系

1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内； 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系

1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；

ArBdCdOrdd=rrd

四、圆与圆的位置关系

外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r； 相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）? 无交点 ? d?R?r；

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1

dR图1rRdr图2dR图3r

d

五、垂径定理

图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：

①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD

COABCBADOED例题1、 基本概念

1．下面四个命题中正确的一个是（ ）

A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）． A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理

1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深

度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.

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2

2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O中，弦AB?CD，且AB?CD，垂足为H，OE?AB于E，OF?CD于F.

（1）求证：四边形OEHF是正方形.

4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长． 5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是

例题3、度数问题

的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=

AEBDOCF（2）若CH?3，DH?9，求圆心O到弦AB和CD的距离.

12BF.

1、已知：在⊙O中，弦AB?12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：?AOB的度数和圆的半径.

2、已知：⊙O的半径OA?1，弦AB、AC的长分别是2、3.求?BAC的度数。

例题4、相交问题

如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.

A E O B D C

例题5、平行问题

在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.

例题6、同心圆问题

如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的径分别为a,b.求证：AD?BD?a?b.

例题7、平行与相似

已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE?CD于E，BF?CD于F.

求

22半

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3

证：

EC?.

六、圆心角定理

圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，

只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①?AOB??DOE；②AB?DE；

③OC?OF；④ 弧BA?弧BD 七、圆周角定理

1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB

BOACAODCEFB2、圆周角定理的推论：

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的等弧；

即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D

推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧弦是直径。

即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径

推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是即：在△ABC中，∵OC?OA?OB

∴△ABC是直角三角形或?C?90?

注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上边的一半的逆定理。

BDC圆周角所对的弧是

BOAC是半圆，所对的

BOAC直角三角形。

OA的中线等于斜

【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？

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