(word完整版)2019年高考理科数学全国2卷(附答案)

12B-SX-0000020 21．（12分）

已知点A(?2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为?12.记

M的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂

足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：△PQG是直角三角形； （ii）求△PQG面积的最大值.

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按

- 9 -

所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在极坐标系中，O为极点，点M(?0,?0)(?0?0)在曲线C:??4sin?上，直

线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P. （1）当??

0=

3

时，求?0及l的极坐标方程； （2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

- 10 -

x?a|x?|x?2|(x?a). 1时，求不等式f(x)?0的解集； (??,1]时，f(x)?0，求a的取值范围.

- 11 -

12B-SX-0000020已知f(x)?|（1）当a?（2）若x?

- 12 -12B-SX-0000020

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 全国II卷 参考答案

1．A 2．C 3．C 4．D 5．A 6．C

7．B

8．D

9．A

10．B

11．A 12．B 13．0.98 14．–3

15．6

3

16．26；2?1

17．解：（1）由已知得，B1C1?平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，

故B1C1?BE．

又BE?EC1，所以BE?平面EB1C1．

（2）由（1）知?BEB1?90?．由题设知Rt△ABE?Rt△A1B1E，所以

?AEB?45?，

故AE?AB，AA1?2AB．

以D为坐标原点，uDAuuruuuDAr的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示

的空间直角坐标系D-xyz，

- 13 -

uuur则C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），E（1，0，1），CE?(1,?1,1)，uCCuuur1?(0,0,2)．

设平面EBC的法向量为n=（x，y，x），则

???CB?uuuCEr?n?0,?x?0,?n?0,即???x?y?z?0, 所以可取n=(0,?1,?1).

设平面ECC1的法向量为m=（x，y，z），则

???CC1?m?0,?2z?0,?uuur即?CE?m?0,??x?y?z?0. 所以可取m=（1，1，0）． 于是cos?n,m??n?m1|n||m|??2．

- 14 -

12B-SX-0000020

3所以，二面角B?EC?C1的正弦值为．

218．解：（1）X=2就是10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均

0.4+（1–0.5）×由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×（1–04）=05． 又0?x?111?1，f()??lnx1?1??f(x1)?0，

x1x1?1x11故f（x）在（0，1）有唯一零点．

x1（2）X=4且甲获胜，就是10：10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为

[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 19．解：（1）由题设得4(an?1?b1n?1)?2(an?bn)，即an?1?bn?1?2(an?bn)．

又因为a?a11+b1=l，所以

n?bn?是首项为1，公比为

2的等比数列． 由题设得4(an?1?bn?1)?4(an?bn)?8，

即an?1?bn?1?an?bn?2．

又因为a1–b1=l，所以

?an?bn?是首项为1，公差为2的等差数列．

（2）由（1）知，a1n?bn?2n?1，an?bn?2n?1． 所以a?12[(a11nn?bn)?(an?bn)]?2n?n?2，

b111n?2[(an?bn)?(an?bn)]?2n?n?2．

20．解：（1）f（x）的定义域为（0，1），（1，+∞）单调递增．

e?1e2因为f（e）=1?e?1?0，f(e2)?2??1e2?3e2?1?e2?1?0， 所以f（x）在（1，+∞）有唯一零点x1，即f（x1）=0．

- 15 - 综上，f（x）有且仅有两个零点． （2）因为

1?e?lnx01x，故点B（–lnx0，x）在曲线y=ex上． 00由题设知f(xx0?10)?0，即lnx0?x， 0?11?ln1x0?1故直线AB的斜率k?xx0?0?lnx?x0x0?1?1． 0?x0?x0?1x1?xx000?曲线y=ex

在点B(?lnx10,x)处切线的斜率是1x，曲线y?lnx在点00A(x10,lnx0)处切线的斜率也是

x， 0所以曲线y?lnx在点A(x0,lnx0)处的切线也是曲线y=ex的切线．

2221．解：（1）由题设得yy1xx?2?x?2??2，化简得4?y2?1(|x|?2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线PQ的斜率为k，则其方程为y?kx(k?0)．

- 16 -