2020高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第9节实际问题的函数建模课时分层训练文北师大版

2019年

课时分层训练(十二) 实际问题的函数建模

A组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．在某个物理试验中，测量得变量x和变量y的几组数据，如下表：

x y 0.50 －0.99 0.99 0.01 2.01 0.98 3.98 2.00 则对x，y最适合的拟合函数是( ) A．y＝2x C．y＝2x－2

B．y＝x－1 D．y＝log2 x

2

D [根据x＝0.50，y＝－0.99，代入计算，可以排除A；根据x＝2.01，y＝0.98，代入计算，可以排除B、C；将各数据代入函数y＝log2 x，可知满足题意．]

2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )

【导学号：66482093】

A．118元 C．106元

B．105元 D．108元

D [设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%a，解得a＝108，故选D.]

3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图2-9-2甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．

图2-9-2

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )

【导学号：66482094】

A．① C．①③

B．①② D．①②③

1

A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，

2一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]

4．将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为( )

2019年

A．85元 C．95元

B．90元 D．100元

2

C [设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)－225]， ∴当x＝95时，y最大．]

5．(2016·四川德阳一诊)将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y＝ae.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有 L，则m的值为( )

4

A．5 C．9

B．8 D．10

ntaA [∵5 min后甲桶和乙桶的水量相等， 1nt5n∴函数y＝f (t)＝ae满足f (5)＝ae＝a，

211?1?t可得n＝ln，∴f (t)＝a·??，

52?2?5因此，当k min后甲桶中的水只有 L时，

4

a?1?k1?1?k1

f (k)＝a·??＝a，即??＝，

22

??54

??54

∴k＝10，

由题可知m＝k－5＝5，故选A.] 二、填空题

6．在如图2-9-3所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

图2-9-3

x40－y20 [设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－

4040x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，当x＝20时，Smax＝400.]

7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量1

减少，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)

3

【导学号：66482095】

8 [设过滤n次才能达到市场要求，

?1?n?2?n1则2%?1－?≤0.1%，即??≤，

?3??3?20

2019年

2

所以nlg≤－1－lg 2，所以n≥7.39，所以n＝8.]

3

8．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝e

kx＋b(e＝

2.718…为自然对数的底数，k，b为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

24 [由已知条件，得192＝e，∴b＝ln 192.又∵48＝e

b22k＋b＝e

22k＋ln 192

＝192e＝192(e)，∴e＝?

22k11k211k?48?1＝

??192?2

?1?1＝1.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t小时，则t＝e33k＋ln 192＝192e33k＝192(e11k)3＝192×?1?3＝24.] ?4?22?2?????

三、解答题

9．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x)

3x＋5为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求k的值及f (x)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x)达到最小，并求最小值.

【导学号：66482096】

[解] (1)由已知条件得C(0)＝8，则k＝40，2分 800

因此f (x)＝6x＋20C(x)＝6x＋(0≤x≤10). 5分

3x＋5800

(2)f (x)＝6x＋10＋－10≥2

3x＋5800

当且仅当6x＋10＝，

3x＋5即x＝5时等号成立，10分

所以当隔热层厚度为5 cm时，总费用f (x)达到最小值，最小值为70万元. 12分

10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

[解] (1)设旅行团人数为x，由题得0

??900，0＜x≤30，则y＝?

?900－10x－30，30＜x≤75，?

*

k800

6x＋10·－10＝70(万元)，7分

3x＋5

2019年

??900，0＜x≤30，即y＝?

?1 200－10x，30＜x≤75.?

5分

(2)设旅行社获利S元，

?900x－15 000，0＜x≤30，?

则S＝?

??x1 200－10x－15 000，30＜x≤75，?900x－15 000，0＜x≤30，?

即S＝?2

??－10x－60＋21 000，30＜x≤75.

8分

因为S＝900x－15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x＝30时，S取最大值12 000元， 又S＝－10(x－60)＋21 000在区间(30,75]上， 当x＝60时，取得最大值21 000.

故当x＝60时，旅行社可获得最大利润. 12分

B组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种为加密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解13

密)．现在加密密钥为y＝kx，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的

256明文是( )

1

A. 2C．2

3

2

1B． 41D． 8

3

A [由题目可知加密密钥y＝kx是一个幂函数型，由已知可得，当x＝4时，y＝2，即2＝k×4，解得k＝＝

1131113113

.故y＝x，显然令y＝，则＝x，即x＝，解得x＝.] 32322562563282

2

34

2．(2016·北京房山期末)某种病毒每经过30分钟由1个病毒可分裂成2个病毒，经过x小时后，病毒个数

y与时间x(小时)的函数关系式为________，经过5小时，1个病毒能分裂成________个.

【导学号：66482097】

y＝4x 1 024 [设原有1个病毒，

经过1个30分钟有2＝2个病毒； 经过2个30分钟有2×2＝4＝2个病毒； 经过3个30分钟有4×2＝8＝2个病毒； ……

60x2xx经过个30分钟有2＝4个病毒，

30

32

1