2009第一轮复习05 - -二次函数的最值问题讲义

二次函数的最值问题讲义

一、知识要点：

一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.

设f(x)?ax2?bx?c(a?0)，求f(x)在x?[m，n]上的最大值与最小值。 分析：将f(x)配方，得对称轴方程x?? 当a?0时，抛物线开口向上

b 2ab?[m，n]必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 2ab?[m，n] 若?2a 若? 当a?0时，抛物线开口向上，此时函数在[m，n]上具有单调性，故在离对称轴x??b较远2a端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a?0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a?0时

f(x)maxb1?f(m)，??(m?n)(如图1)??2a2?? ?f(n)，?b?1(m?n)(如图2)?2a2?b?f(n)，??n(如图3)?2a?bb?)，m???n(如图4) f(x)min??f(?2a2a??bf(m)，??m(如图5)?2a?

当a?0时

b?f(n)，??n(如图6)?2a?bb? f(x)max??f(?)，m???n(如图7) 2a2a??bf(m)，??m(如图8)?2a?第 1 页 共 8 页

f(x)minb1?f(m)，??(m?n)(如图9)??2a2?? ?f(n)，?b?1(m?n)(如图10)?2a2?

二、例题分析归类：

（一）、正向型

是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定

例1. （2008年陕西卷）

22．本小题满分14分）

设函数f(x)?x3?ax2?a2x?1,g(x)?ax2?2x?1,其中实数a?0．

（Ⅰ）若a?0，求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）当函数y?f(x)与y?g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时，记g(x)的最小值为h(a)，求h(a)的值域；

（Ⅲ）若f(x)与g(x)在区间(a,a?2)内均为增函数，求a的取值范围．

2. 轴定区间动

例2. （全国卷）

设a为实数，函数f(x)?x?|x?a|?1,a?R,，求f(x)的最小值。 3. 轴动区间定

2评注：已知f(x)?ax?bx?c(a?0)，按对称轴与定义域区间的位置关系，由数形结合可得f(x)在[m,n]上的最大值或最小值。

2例3．求函数y??x(x?a)在x?[?1,1]上的最大值。 4. 轴变区间变

例4. 已知y?4a(x?a)(a?0),，求u?(x?3)?y的最小值。 （二）、逆向型

是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值。

例5. 已知函数f(x)?ax?2ax?1在区间[?3,2]上的最大值为4，求实数a的值。

2222x2?x在区间[m,n]上的值域是[3m,3n]，求m，n的值。 例6. 已知函数f(x)??2

第 2 页 共 8 页

练习：

1、（2008江西卷21）． 已知函数f(x)?1413x?ax?a2x2?a4(a?0) 43（1）求函数y?f(x)的单调区间；

（2）若函数y?f(x)的图像与直线y?1恰有两个交点，求a的取值范围．

2、已知二次函数f(x)?ax2?(2a?1)x?1在区间[?,2]上的最大值为3，求实数a的值。

3、（2008山东卷21．）（本小题满分12分）

设函数f(x)?x2ex?1?ax3?bx2，已知x??2和x?1为f(x)的极值点． （Ⅰ）求a和b的值； （Ⅱ）讨论f(x)的单调性； （Ⅲ）设g(x)?

3223x?x2，试比较f(x)与g(x)的大小． 3

第 3 页 共 8 页

2009届高三第一论复习二次函数的最值问题讲义参考答案

例题答案：

22例1. 解：（Ⅰ）? f?(x)?3x?2ax?a?3(x?)(x?a)，又a?0，

a3aa时，f?(x)?0；当?a?x?时，f?(x)?0， 33aa?f(x)在(??,?a)和(,??)内是增函数，在(?a,)内是减函数．

33? 当x??a或x?（Ⅱ）由题意知 x?ax?ax?1?ax?2x?1，

即x[x2?(a2?2)]?0恰有一根（含重根）．? a?2≤0，即?2≤a≤2， 又a?0，? a?[?2,0)?(0,2]．

2当a?0时，g(x)才存在最小值，?a?(0,2]．? g(x)?a(x?)?a?322221a1， a12]． ? h(a)?a?,a?(0,2]． ?h(a)的值域为(??,1?a2（Ⅲ）当a?0时，f(x)在(??,?a)和(,??)内是增函数，g(x)在(,??)内是增函数．

a31a??a?0?a?由题意得?a?，解得a≥1；

3?1?a??a?当a?0时，f(x)在(??,)和(?a,??)内是增函数，g(x)在(??,)内是增函数．

a31a??a?0??由题意得?a?2???a?2???a，解得a≤?3； 31a综上可知，实数a的取值范围为(??,?3]?[1,??)．

2例2.（1）当x?a时，f(x)?(x?)?123?a 4第 4 页 共 8 页