培优专题用提公因式法把多项式进行因式分解(含标准答案)

?3n(32?1)?2n(22?1)?10?3?5?2nn

?对任意自然数n，10?3n和5?2n都是10的倍数。 ?3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数

5、中考点拨：

例1。因式分解3x(x?2)?(2?x) 解：3x(x?2)?(2?x)

?3x(x?2)?(x?2)

?(x?2)(3x?1) 说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。 例2．分解因式：4q(1?p)?2(p?1)

32 解：4q(1?p)?2(p?1)

32?4q(1?p)3?2(1?p)2 ?2(1?p)2[2q(1?p)?1]

?2(1?p)2(2q?2pq?1) 说明：在用提公因式法分解因式前，必须对原式进行变形得到公因式，同时一定要注意符号，提取公因式后，剩下的因式应注意化简。

题型展示：

例1. 计算：2000?20012001?2001?20002000 精析与解答：

设2000?a，则2001?a?1

?2000?20012001?2001?20002000

5

?a[10000(a?1)?(a?1)]?(a?1)(10000a?a)

?a(a?1)?10001?a(a?1)?10001?a(a?1)?(10001?10001)?0

说明：此题是一个有规律的大数字的运算，若直接计算，运算量必然很大。其中2000、2001重复出现，又有2001?2000?1的特点，可通过设未知数，将复杂数字间的运算转化为代数式，再利用多项式的因式分解化简求值，从而简化计算。

例2. 已知：x2?bx?c（b、c为整数）是x4?6x2?25及3x4?4x2?28x?5的公因式，求b、c的值。

分析：常规解法是分别将两个多项式分解因式，求得公因式后可求b、c，但比较麻烦。

242注意到x?bx?c是3(x?6x?25)及3x?4x?28x?5的因式。因而也是

42?(3x4?4x2?28x?5)的因式，所求问题即可转化为求这个多项式的二次因式。

242 解：?x?bx?c是3(x?6x?25)及3x?4x?28x?5的公因式

42 ?也是多项式3(x?6x?25)?(3x?4x?28x?5)的二次因式

4242 而3(x?6x?25)?(3x?4x?28x?5)?14(x?2x?5)

42422 ?b、c为整数

得：x?bx?c?x?2x?5

22 ?b??2，c?5

说明：这是对原命题进行演绎推理后，转化为解多项式14x?28x?70，从而简便求

2得x?bx?c。

2

例3. 设x为整数，试判断10?5x?x(x?2)是质数还是合数，请说明理由。 解：10?5x?x(x?2)

6

?5(2?x)?x(x?2)

?(x?2)(5?x) ?x?2，5?x都是大于1的自然数 ?(x?2)(5?x)是合数

说明：在大于1的正数中，除了1和这个数本身，还能被其它正整数整除的数叫合数。只能被1和本身整除的数叫质数。

【实战模拟】 1. 分解因式：

（1）?4m2n3?12m3n2?2mn

（2）a2xn?2?abxn?1?acxn?adxn?1（n为正整数） （3）a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)

3222 2. 计算：(?2) A. 210011?(?2)10的结果是（ ）

B. ?2

10

C. ?2

D. ?1

3. 已知x、y都是正整数，且x(x?y)?y(y?x)?12，求x、y。

4. 证明：817?279?913能被45整除。

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5. 化简：1?x?x(1?x)?x(1?x)?…x(1?x)21995，且当x?0时，求原式的值。

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