培优专题用提公因式法把多项式进行因式分解(含标准答案)

培优专题用提公因式法把多项式进行因式分解(含标准答案)

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1、用提公因式法把多项式进行因式分解

【知识精读】

如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。

提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。它的理论依据就是乘法分配律。多项式的公因式的确定方法是：

（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。

（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解 【分类解析】

1. 把下列各式因式分解 （1）?ax2m?2?abxm?1?acxm?axm?3

322 （2）a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)

分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。 解：?ax2m?2?abxm?1?acxm?axm?3??axm(ax2?bx?c?x3)

（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，(a?b)变换。

解：a(a?b)?2a(b?a)?2ab(b?a)

3222n?(b?a)2n；(a?b)2n?1??(b?a)2n?1，是在因式分解过程中常用的因式

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?a(a?b)3?2a2(a?b)2?2ab(a?b) ?a(a?b)[(a?b)?2a(a?b)?2b]2

?a(a?b)(3a2?4ab?b2?2b)

2. 利用提公因式法简化计算过程

987987987987 ?268??456??521?1368136813681368987 分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。

1368987 解：原式??(123?268?456?521)

1368987 ??1368?987

1368 例：计算123?

3. 在多项式恒等变形中的应用

?2x?y?3 例：不解方程组?，求代数式(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)的值。

5x?3y??2? 分析：不要求解方程组，我们可以把2x?y和5x?3y看成整体，它们的值分别是3和?2，观察代数式，发现每一项都含有2x?y，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有2x?y和5x?3y的式子，即可求出结果。

解：(2x?y)(2x?3y)?3x(2x?y)?(2x?y)(2x?3y?3x)?(2x?y)(5x?3y) 把2x?y和5x?3y分别为3和?2带入上式，求得代数式的值是?6。

4. 在代数证明题中的应用

例：证明：对于任意自然数n，3n?2?2n?2?3n?2n一定是10的倍数。

分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。 3n?2?2n?2?3n?2n?3n?2?3n?2n?2?2n

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