二次函数与方程、不等式综合

二次函数与方程、不等式综合

中考要求

板块 A级要求 1.能根据实际情境了解二次函数的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的图像；

考试要求 B级要求 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； C级要求 1.能用二次函数解决简单的实际问题； 2.能解决二次函数与其他知识结合的有关问题； 二次函数 知识点睛

一、二次函数与一元二次方程的联系

1. 直线与抛物线的交点

c?. （1） y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为?0，（2） 与y轴平行的直线x?h与抛物线y?ax2?bx?c有且只有一个交点h，ah2?bh?c.

（3） 抛物线与x轴的交点:二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程

的根的判别式判定：

①有两个交点???0?抛物线与x轴相交；

②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离. （4） 平行于x轴的直线与抛物线的交点．可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两

交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2?bx?c?k的两个实数根.

0?，B?x2，0?，（5） 抛物线与x轴两交点之间的距离．若抛物线y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，由于x1、x2是方程ax2?bx?c?0的两个根，故x1?x2??2??bc，x1?x2? aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2b2?4ac??b?4c ?4x1x2???????aaa?a?2. 二次函数常用的解题方法

（1） 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； （2） 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3） 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的

符号判断图象的位置，要数形结合； （4） 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴

的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. （5） 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函

数；以a?0时为例，二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系如下：

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??0 ??0 ??0

抛物线与x轴有两个交点 抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 3. 二次函数与一元二次方程根的分布（选讲）

所谓一元二次方程，实质就是其相应二次函数的零点（图象与x轴的交点问题），因此，二次方程的实根分布问题，即二次方程的实根在什么区间内的问题，借助于二次函数及其图象利用数形结合的方法来研究是非常有益的．

??????是预先给设f?x??ax2?bc?c?a?0?的二实根为x1，x2，?x1?x2?，??b2?4ac，且?，定的两个实数．

??内，方程系数所满足的充要条件： （1） 当两根都在区间??，∵??x1?x2??，对应的二次函数f?x?的图象有下列两种情形：

ya>0yx1x2O??x?x2x1x?Ob??，f????0，f????0． 2ab当a?0时的充要条件是：??0，?????，f????0，f????0．

2a两种情形合并后的充要条件是：

b???0，??????2a?①

?f????0，?f????0??当a?0时的充要条件是：??0，???（2） 当两根中有且仅有一根在区间??，??内，方程系数所满足的充要条件； ∵??x1??或??x2??，对应的函数f?x?的图象有下列四种情形：

yy

?O?x1?xOx1?x

yy??x1OO?x1x?x从四种情形得充要条件是：

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f????f????0②

??内方程系数所满足的充要条件： （3） 当两根都不在区间??，??的两旁时； 当两根分别在区间??，∵x1?????x2对应的函数f?x?的图象有下列两种情形：

yy?Ox1?x2xOx1??x2x当a?0时的充要条件是：f????0，f????0． 当a?0时充要条件是：f????0，f????0． 两种情形合并后的充要条件是：

?f(?)?0，?f(?)?0③ 当两根分别在区间[?，?]之外的同侧时：

∵x1?x2????或????x1?x2，对应函数f?x?的图象有下列四种情形：

yy

Ox1x2????xx1Ox2x

yyx1O??x2x??x1Ox2x当x1?x2??时的充要条件是：

b??0，???，?f????0④

2a当??x1?x2时的充要条件是：

b??0，???，?f????0⑤

2a（3）区间根定理

b?上有f?a??f?b??0，则至少存在一个x??a，b?，使得f?x??0． 如果在区间?a，此定理即为区间根定理，又称作勘根定理，它在判断根的位置的时候会发挥巨大的威力．

f(a)baf(b)

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例题精讲

一、二次函数与方程、不等式综合

【例1】 已知二次函数f?x??x2?px?q，且方程f?x??0与f?2x??0有相同的非零实根．

q的值； p2（2）若f?1??28，解方程f?x??0.

（1）求

【例2】 已知二次函数y?x2?x?a(a?0)，当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，那么下列结论

中正确的是（ ）

A.m?1的函数值小于0 B.m?1的函数值大于0 C.m?1的函数值等于0 D.m?1的函数值与0的大小关系不确定

【例3】 小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x2?4x?5的值的情况．他们作了如下分工：小明

负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ） A.小明认为只有当x?2时，x2?4x?5的值为1. B.小亮认为找不到实数x，使x2?4x?5的值为0.

C.小梅发现x2?4x?5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值

D.小花发现当x取大于2的实数时，x2?4x?5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值.

【例4】 已知关于x的一元二次方程2x2?4x?k?1?0有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y?2x2?4x?k?1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余

1部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y?x?b?b?k?与此图

2象有两个公共点时，b的取值范围.

T?在函数y2的图【例5】 已知函数y1?x，y2?x2?bx?c，?，?为方程y1?y2?0的两个根，点M?t，象上．

11（1）若??，??，求函数y2的解析式；

32（2）在（1）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当?ABM的面积为

1时，123求t的值；

（3）若0?????1，当0?t?1时，试确定T，?，?三者之间的大小关系，并说明理由．

【例6】 已知方程x2?2px?1?0的两个实根一个小于1，一个大于1，求p的取值范围．

【例7】 已知方程x2?ax?b?0的两根均大于2，求a，b的关系式．

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