安徽省合肥四十五中2015年中考数学三模试卷（解析版）

30﹣20=10（亩）．

答：他种植康乃馨20亩，则玫瑰花10亩； （2）设种康乃馨x亩，则种玫瑰花（30﹣x）亩， 根据题意得，2.4x+2（30﹣x）≤70， 解得：x≤25，

设总收益为W，则W=（3﹣2.4）x+（2.5﹣2）×（30﹣x）， =0.1x+15， ∵k=0.1＞0，

∴W随x的增大而增大， ∴当x=25时，获得最大收益．

答：要获得最大收益，应种植康乃馨25亩，种植玫瑰花5亩．

【点评】本题考查了一次函数的应用以及分式方程的应用，表示出与总收益的函数关系式，找出题中等量关系并列出方程是解题的关键．

20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且OD∥AC，OD与BC交于点E． （1）求证：E为BC的中点；

（2）若BC=8，DE=3，求AB的长度．

【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角求出∠C=90°，根据平行线的性质求出∠OEB=90°，即OD⊥BC，根据垂径定理即可证得结论；

（2）设圆的半径为x，则OB=OD=x，OE=x﹣3，根据勾股定理求出答案． 【解答】解：（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠C=90°， ∵OD∥BC， ∴∠OEB=∠C=90°， ∴OD⊥BC，

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∴BE=CE， ∴E为BC的中点；

（2）设圆的半径为x，则OB=OD=x，OE=x﹣3， ∵BE=BC=4，

在RT△BOE中，OB2=BE2+OE2， ∴x2=42+（x﹣3）2，解得x=∴AB=2x=

．

，

【点评】本题考查的是圆周角定理、垂径定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握性质定理是解题的关键．

六、（本题满分12分）

21．小明用完全一样的包装盒包装了三份不同的礼物A、B、C，分别送给甲、乙、丙三位朋友，每个盒子写上了朋友的姓名．

（1）如果小明在送礼物时没有核对姓名而是随机地从中抽出一份礼物送给朋友甲，求盒子上写的姓名恰好是朋友甲的概率．

（2）如果小明在送礼礼物时没有核对姓名而是随机地将礼物分发给甲、乙、丙三位朋友，则只有一人收到写有自己名字的礼物的概率是多少？ 【考点】列表法与树状图法；概率公式．

【分析】（1）由共有3种等可能的结果，盒子上写的姓名恰好是朋友甲的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与只有一人收到写有自己名字的礼物的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：（1）∵共有3种等可能的结果，盒子上写的姓名恰好是朋友甲的只有1种情况， ∴盒子上写的姓名恰好是朋友甲的概率为：；

（2）画树状图得：

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∵共有6种等可能的结果，只有一人收到写有自己名字的礼物的有3种情况， ∴只有一人收到写有自己名字的礼物的概率是： =．

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

七、（本题满分12分）

22．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在边AB上，∠DEC=90°，且DE=EC． （1）求证：△ADE≌△BEC；

（2）若AD=a，AE=b，DE=c，请用图1证明勾股定理：a2+b2=c2；

（3）线段AB上另有一点F（不与点E重合），且DF⊥CF（如图2），若AD=2，BC=4，求EF的长．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）首先得出∠ADE=∠CEB，再利用全等三角形的判定方法得出△ADE≌△BEC（AAS）；（2）利用梯形的面积和直角三角形面积公式求出答案；

（3）利用全等三角形的性质结合相似三角形的判定与性质得出AF的长，进而得出答案． 【解答】（1）证明：如图1，∵∠DEC=90°， ∴∠AED+∠CEB=90°， ∵∠ADE+∠AED=90°， ∴∠ADE=∠CEB， 在△ADE和△BEC中

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，

∴△ADE≌△BEC（AAS）；

（2）证明：如图1，∵AB⊥BC，∠DEC=90°， ∴△ADE，△DEC，△BEC都是直角三角形，

∵AD=a，AE=b，DE=c，且DE=EC，△ADE≌△BEC， ∴BE=a，BC=b，

∴（a+b）（a+b）=ab+c2+ab， 整理得：a2+b2=c2；

（3）解：如图2，

由（1）得：△ADE≌△BEC（AAS）， 则AD=BE=2，BC=AE=4， ∵DF⊥CF，

∴∠AFD+∠BFC=90°， ∵∠BFC+∠BCF=90°， ∴∠AFD=∠BCF， 又∵∠A=∠B， ∴△AFD∽△BCF， ∴

=

，

设AF=x，则BF=6﹣x， 故=

，

解得：x1=2，x2=4， ∵点F不与点E重合， ∴x=2，

∴EF=6﹣2﹣2=2．

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