会计自考《线性代数》复习资料

数=A的行数，C的列数=B的列数，C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。 由矩阵乘法可知：

（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换 （2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换 （3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律

（4）当AB=O时，一般不能退出A=O或B=O，这说明矩阵乘法不满足消去律 若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵。

? 矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去，被称为可

逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式同侧消去。 乘法运算律

（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A(BC)

（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A(B+C)=AB+AC （3）两种乘法的结合律k(AB)=（KA）B=A(KB) （4）EmAm×n=Am×nAm×nEn=Am×n 方阵的方幂

A0=E AkAl=Ak+l (Ak)l=Akl

? 因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论 （1）(A+B)2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2?AB=BA （2）(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2=A2-B2?AB=BA （3）当AB=BA时，必有（AB）k=AkBk

（4）当A=B时，在满足可乘条件下必可推出AC=BC，CA=CB，但未必有AC=CB,CA=BC（同方向相乘可以） ? 因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论 （1）由AB=O，A≠O不能推出B=O （2）A2=O,不能推出A=O

（3）由AB=AC，A≠O不能推出B=C

（4）由A2=B2不能推出（A+B）(A-B)=O和A=±B 2.2.5 矩阵的转置

定义2.2.5把矩阵的行与列互换得到的n×m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT 转置运算律 （1）(AT)T=A （2）(A+B)T=AT+BT （3）(KA)T=KAT，k为实数

（4）（AB）T=BTAT

定义2.2.6设A=(aij)为n阶实方阵，若A满足AT=A，也就是说A中元素满足aij=aji，则称A为实对称矩阵。若A满足AT=—A，也就是说A中元素满足aij=—aji，此时必有aii=0，则称A为实反对称矩阵 2.2.6 方阵的行列式

定义2.2.7由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作|A| 注意：

（1）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等

（2）当且仅当A=(aij)为n阶方阵时，才可取行列式D=|A|=|aij |n，对于不是方阵的矩阵不可以取行列式 方阵的行列式有如下性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则 （1）|AT|=|A| （2）|KA|=Kn|A| （3）|AB|=|A|.|B|

? 任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零 2.2.7 方阵多项式

? 任意给定一个多项式f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵

f(A)=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0En，称为f(A)为A的方阵多项式

注意：在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵a0En而不是常数a0，方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。

2.3 方阵的逆矩阵

定义2.3.1设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=En，则称A是可逆矩阵，并称方阵B为A的逆矩阵，记为A-1，即A-1=B，若满足AB=BA=En的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵 定理2.3.1可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的

? AA-1=A-1A=En|AA-1|=|En|=1，即|A|.|A-1|=1，从而|A-1|=|A|-1 ? 只有方阵才可能是可逆矩阵，且可逆矩阵的逆矩阵一定是方阵 定义2.3.2设A=(aij)n×n，Aij为|A|的元素aij的代数余子式，则矩阵

??11??21 …????1

??12??22 … ??n2 称为A的伴随矩阵，记为A*。由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，Aij必须放? ? ???1????2?? … ??????

在A*中的第j行第i列的交叉位置上，即|A|的第i行元素的代数余子式构成A*的第i列元素 ? AA*=|A|En A*A=|A|En若行列式|A|≠0，则可以在它们的两边乘以A(

1|??|

1|??|

，得

???)=En(

1

|??|

???)A=En

1

定理2.3.2n阶方阵A为可逆矩阵?|A|≠0 ? 求逆矩阵公式A=

-1

|??|

???

推论设A，B均为n阶矩阵，并且满足AB=En，则A，B都可逆，且A-1=B，B-1=A

这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式AB=En或BA=En成立即可 可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数k≠0，则 （1）A-1为可逆矩阵，且（A-1）-1=A （2）AB为可逆矩阵，且（AB）-1=B-1A-1 （3）kA为可逆矩阵，且（kA）-1=A-1

??1

（4）AT为可逆矩阵，且（AT）-1=(A-1)T

（5）可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去，即当P为可逆矩阵时，有PA=PB?A=B；AP=BP?A=B

（6）设A是n阶可逆矩阵，我们记A0=En，并定义A-k=(A-1)k，其中k为任意正整数，则有AkAl=Ak+l，(Ak)l=Akl，这里k和l为任意整数（包括负整数、零和正整数） ? 矩阵不能做分母

? 只有当把求出的逆矩阵与矩阵A相乘，它们的乘积是单位矩阵时，才能确保它是A的逆矩阵 ? 设A为n阶方阵，则|A*|=|A|n-1

? 设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时，A为对称矩阵?PTAP为对称矩阵

? 凡是需要通过方阵等式求出逆矩阵的问题，经常用凑逆矩阵法：对于需要求逆矩阵的A，借助于A所满足的方

阵等式，凑出一个矩阵X使得AX=En或XA=En

2.4 分块矩阵

? 对于任意一个m×n矩阵A=(aij)m×n，常采用以下两种特殊的分块方法： ??1??2

行向量表示法 A= ? 其中????=(????1，????2…????n)，i=1，2，…，m

??????1????2??

列向量表示法 A= ??1，??2，…，???? 其中????= ? ，j=1，2，…，n

??????前者称为A按行分块，后者称为将A按列分块 2.4.1 分块矩阵的加法 2.4.2 数乘分块矩阵 2.4.3 分块矩阵的转置

分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置 1 610 5

1 23 4 5

???? 2 79 4 ??11??21??11??126 78 9 10

例：A= = AT= 3 8 8 3 = ????

??21??2210 98 7 6??12??22

4 97 2

5 43 2 1

5 106 1 2.4.4 分块矩阵的乘法和分块方阵求逆

? 利用伴随矩阵方法求逆A=

-1

1 ??

???

? 容易直接验证如下特殊分块方阵求逆公式的正确性 （1）当A和D是任意两个可逆矩阵时，有 A B?1???1 ????1?????1E B?1E ?B = 特别 = O DO EO E?? ???1（2）当B和C是任意两个可逆矩阵时，有

?1?1?1O B?1O B?1 O ???1??????? ?? = 特别 = C DC O ???1 ?? B?1 O

2.5 矩阵的初等变换与初等方阵

2.5.1 初等变换

定义2.5.1对一个矩阵A=(aij)m×n施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行(列)变换，统称为矩阵的初等变换： （1）交换A的某两行(列)

（2）用一个非零的数k乘A的某一行(列) （3）把A中某一行(列)的k倍加到另一行(列)上

必须注意：对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外，一般来说变换前后的两个矩阵不是相等的，因此，用箭号“→”连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数 定义2.5.2若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为A?B 矩阵之间的等价关系有以下三条性质： （1）反身性 A?A

（2）对称性若A?B，则B?A （3）传递性若A?B，B?C，则A?C 2.5.2 初等方阵

定义2.5.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵 （1）交换E的第i，j两行(列)，得到的初等方阵记为Pij

（2）用非零常数k乘E的第i行(列)，得到的初等方阵记为Di(k)

（3）将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上），i

定理2.5.2任意一个m×n矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×n