(完整版)反常积分与无穷级数收敛关系的讨论毕业论文

即严格递减且有界；

当时，原级数为，满足莱布尼茨条件，即收敛； 时，有

即严格递减且有界.

又由于是收敛的，故由阿贝尔判别法知原级数收敛.

本章详细介绍了各种级数的收敛判别方法用不同的方法来判断级数的敛散性.

第4章 无穷级数与无穷积分的关系探讨

无穷积分和无穷级数的敛散性都是通过极限来定义的，只不过无穷积分是函数的极限，无穷级数是数列的极限，两者有着密切的联系.

4.1反常积分与数项级数的联系

定理4.1收敛的充要条件是:对任一趋于的递增数列（其中A1=a）,数项级数收敛,且

. （4-1）

证：必要性 如果反常积分收敛,则

???af(x)dx?limm???a?Am?1f(x)dx?limm?????n?1mAn?1Anf(x)dx???n?1?An?1Anf(x)dx

充分性 已知对任意的趋于+∞的递增数列（其中A1=a）,数项级数收敛,即它的部分和数列（或）收敛,由海涅定理知,反常积分收敛,且

由此得到讨论无穷积分的收敛问题可考虑转化为讨论无穷级数的收敛问题; 另一方面,每一数项级数,可以看作一个阶梯函数的无穷限反常积分,只要置,因而.

4.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较

二者常用的审敛法有比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法。下面主要通过定理4.1,由无穷级数的判别法来推出无穷积分也具有相应的判别法。

例4.1 由无穷级数的比较判别法可以推出无穷积分也具有比较判别法，反之同理。

证明：已知无穷级数的比较判别法．即：当时，若级数 收敛。则级教也比收敛。

由定理4.1 可构造如下函数 f1(x)?un,x??An,An?1?；

An?1?An

f2(x)?vn,x??An,An?1?，

An?1?An其中是任意趋于的递增数列。由于，故， （4-2） 因为定理4.1和级数收敛，所以无穷积分收敛； 同理，因为定理4.1和级数收敛，所以无穷积分收敛；

又由于级数收敛，则必有也收敛。故无穷积分收敛时，则必有穷积分也收敛。 综上可知：(4-2)式成立时，无穷积分穷积分收敛，则必有收敛。反之同理。

由无穷级数的柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法等判别法也可

以推出无穷积分也具有柯西柯西判别法、阿贝尔判别法、狄利克雷判别法别法等判别法。反之同理。而证明方法和上述的证明方法相仿．因此略。

4.3无穷积分与无穷级数的差异

对于无穷级数收敛的必要条件是,但对于无穷积分,却未必有. 例如，条件收敛,而却不存在.究其原因,该例子中的是变号的. 进一步,当, ,且连续,是否就有呢？回答是否定的. 例如4.2 无穷积分收敛.

被积函数.在时,且满足.这表明函数图像与第一项限的角平分线有无穷多个交点,交点的坐标是（）.但当时,函数值就急剧下降,当时函数图像已经与轴很难区分开来.这个例子说明无穷积分收敛,不仅有,而且可以有,即函数是无界的.

事实上,由定理我们可以看出式（4-1）中的,相当于无穷级数中的,而不是.那么加什么条件才能得到结果呢？

收敛时,互为充分条件 定理4.2收敛,且在上一致连续,则.

证明 用反证法.假设,即, , ,有.已知在一致连续,即, , ,有.

f(x)?f(xn)?f(x)?f(xn)??o??02??02. （4-2）

,.若,则有f(x)?f(xn)?f(x)?f(xn)??0,矛盾.

xn??若,则,由（2）式有从而?若,则,由（2）式有 从而?即. 于是, , ,有

.

xn??xnxnf(x)dx??02?xn??xndx??0?2.

f(x)dx???02?xn??xndx???0?2,

根据Cauchy收敛准则逆否命题,发散,已知条件矛盾.于是,. 定理4.3 若函数有连续导数,且无穷积分与都收敛,则. 证明 已知无穷积分收敛,即

???axxf?(x)dx?lim?f?(t)dt?limf(t)?limf(x)?f(a)

x???ax???ax???存在,也就是极限存在.设.

下面证明.用反证法.假设,不妨设,即.由连续函数的保号性,于是,有 . 从而, ,有

.

根据Cauchy收敛准则逆否命题,发散,已知条件矛盾.于是,.

4.4本章小结

通过对无穷积分与无穷级数的审敛法的对比研究说明二者判别法上极为

相似的本质原因.再通过同时阐述了无穷积分与无穷级数间的内在关系,这两部分内容为数学分析学习搭建了桥梁,将更易于掌握新知识、理清知识前后脉络关系.

结束语

反常积分和无穷级数是数学分析中重要的两部分内容，自从微积分发展以来，反常积分与无穷级数的对比研究一直是经典内容。本文主要从三个