(完整版)反常积分与无穷级数收敛关系的讨论毕业论文

转化.并根据这种转化关系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.最后指出了它们之间存在的一些差别.

第1章从选题背景及意义、问题提出、相关文献综述、论文结构这四个方面来阐述,说明了该论题研究现状和成果.

第2章 从反常积分的收敛方法，通常所讲的反常积分和无穷级数在理论和

研究方法上联系.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化.

第3章 简单介绍无穷级数概念与各种收敛方法.

第4章 探讨了反常积分与无穷级数收敛关系，并对它们的判别法进行了对比研究.

第2章 反常积分的收敛方法

通常所讲的反常积分主要包含两类：无穷区间上的反常积分(或称无穷积分)和无界函数的反常积分(或称瑕积分).反常积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化,因此,只需要对其中一类反常积分进行讨论即可,以下主要以无穷积分为例,探析反常积分与无穷级数收敛性关系.

2.1非负函数无穷积分的收敛判别法

定理2.1[3]（比较判别法） 设定义在上的两个非负函数和都在任何有限区上可积,且满足

, ,

则当收敛时必收敛(或者,当发散时必发散）. 推论2.1（比较判别法的极限形式） : 若和都在任何有限区间上可积,当时,且,则有：

(i)当时,与同敛态；

（ii）当时,有收敛可推知也收敛； (iii)当时,由发散可推知也发散.

特别地,如果选用作为比较对象,则我们有如下两个推论（称为柯西判别

法）.

推论2.2（Cauchy判敛法）:

若定义于,且在任何有限区间上可积,则有： (i)当0?f(x)???1??,x?a,??,且p?1时，f(x)dx收敛； p?ax

??1 （ii）当f(x)?p,x??a,???,且p?1时，?af(x)dx发散. x

推论2.3（Cauchy判敛法的极限形式 ）:

若是定义于上的非负函数,在任何有限区间上可积,且 ,则有

（i）当p?1,0?????时， ?f(x)dx收敛；a?? (ii)当p?1,0?????时，?f(x)dx发散.

a?? 例2.1 讨论下列无穷积分的收敛性

解：,所以由推论3知收敛.

2.2一般无穷积分的收敛判别法

这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法

定理2.2（狄利克雷判别法） 若在区间上上有界 ,在上当时单调趋于0,则收敛.

定理2.3（阿贝尔判别法） 若收敛 ,在上单调有界 , 则收敛. 例2.2 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛.

解：令x?t2,则dx?2tdt,从而有???1 ??sint??sintsinxdx???2tdt?2?dt,而对任给u?1，211xtt

1有?sintdt?cos1?cosu?2,而当x???时，单调趋于0，1x??sintsintsin2t故由狄利克雷判别法知?1tdt收敛，又t?t??dt1cos2t??,这里?发散.12t2t2t

u所以2?即?????1??sinsintxdt发散，故?dx发散.1tx1sinx在?1，???是条件收敛的.x例2.3 讨论积分(a>0) 的收敛性（p为实数） 解：当时,因

=（）

所以发散． 当1时 ===Ip(b)

因为 Ip(b)=

所以积分当p>1时收敛,值为；当p<1时发散

例2.4 讨论积分 (a>0)的收敛性． 解：因( 同理

所以收敛,

且

2.3本章小结

详细介绍了无穷积分比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,用不同的判别法来判断例题的敛散性.