不等式恒成立问题存在性问题讲义

导数及其应用

吴冰

平均速度 平均变化率 割线斜率 瞬时速度 瞬时变化率 切线斜率 基本初等函数的导数公导数与函数单调性的关系 导数 导数与极值最值的关系 式，导数的运算法则 导数解决不等式问题 在生活中的实际应用 微积分基本定理 曲边梯形的面积 变速直线运动的路程 定积分 定积分在几何、物理中的简单应用

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一、 导数的概念及其几何意义

（一）变化率与导数、导数的计算

1、函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率： 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率为则平均变化率可表示为

2、函数y=f(x)在x=x0处导数：

（1）定义称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

f(x0??x)?f(x0)?y为y=f(x)在x=x0处导数，记作 ?lim?x?0?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?y f?(x0)或y?|x?x0,即f?(x0)?lim?lim?x?0?x?x?0?xlim?y。 ?xf(x2)?f(x1)，若?x?x2?x1，?y?f(x2)?f(x1),

x2?x1（2）几何意义：函数f(x)在点x处的导数f?(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点（x0，

f?(x0)）处的切线的斜率。相应地，切线方程为y-y0=f?(x0)(x=x0).

3、函数f(x)的导数：称函数f?(x)?lim?x0f(x??x)?f(x)为函数f(x)的导函数，导函数有

?x时也记作y?。

注：求函数f(x)在x=x0处的导数的方法：

f(x0??x)?f(x0);

?x0?xf(x??x)?f(x)方法二：先求导函数f?(x)?lim，再令x=x0求f?(x0)

?x0?x方法一：直接使用定义；f?(x0)?lim

4、基本初等函数的导数公式

运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y?f(x)在开区间（a,b）内的导数的基本步骤：

①分析函数y?f(x)的结构和特征； ②选择恰当的求导法则和导数公式求导； ③整理得结果。

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例题解析：

函数 导数

y?c

y?f(x)?xn(n?Q*)

y'?0 y'?nxn?1

y?sinx y'?cosx y'??sinx y'?ax?lna(a?0)

y?cosx

y?f(x)?ax y?f(x)?ex f(x)?logax

y'?ex

f'(x)?f'(x)?1(a?0且a?1) xlna1 xf(x)?lnx

42〖例1〗求函数y=x的导数。

?y2x??x??4?22?xx(x??x)解析： ，

?2x??x??y8?4?22?lim?lim?x(x??x)?x3??x?0?x?x?0?=-。

〖例2〗一质点运动的方程为s?8?3t2。

（1） 求质点在[1，1+Δt]这段时间内的平均速度；

（2） 求质点在t=1时的瞬时速度（用定义及求求导两种方法） 分析：（1）平均速度为

?s； ?t（2）t=1时的瞬时速度即s?8?3t2在t=1处的导数值。 解答：（1）∵s?8?3t2

?s??6?3?t. ?t?s（2）定义法：质点在t=1时的瞬时速度v?lim?lim(?6?3?t)??6

?t?0?t?t?0∴Δs=8-3(1+Δt)-(8-3×1)=-6Δt-3(Δt), v?222

?求导法：质点在t时刻的瞬时速度

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v?s?(t)?(8?3t2)??6t，当t=1时，v=-6×1=-6.

注：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系。对位移s与时间t的关系式求导可得瞬时速度与时间t的关系。根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求。

14〖例3〗已知曲线y?x3?，

33（1） 求曲线在点P(2,4)处的切线方程； （2） 求曲线过点P(2,4)的切线方程； （3） 求斜率为4的曲线的切线方程。

分析：切点坐标?切线斜率?点斜式求切线方程

14解答：（1）?P(2,4)在曲线y?x3?上，且y??x2

33∴在点P(2,4)处的切线的斜率k=y?|x?2=4;

∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.

1414（3） 设曲线y?x3?与过点P(2,4)的切线相切于点A（x0，x03?），

3333142则切线的斜率k?y?|x?x0?x02，∴切线方程为y?（x03?）=x0（x-x0），

332342即y?x0?x?x0?

3324∵点P(2,4)在切线上，∴4=2x02?x03?，

3332322?3x0?4?0，∴x0?x0?4x0?4?0， 即x0∴（x0+1）(x0-2)2=0 解得x0=-1或x0=2 故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. （3）设切点为（x0,y0）

则切线的斜率为k=x02=4, x0=±2.切点为（2，4），（-2，-4/3） ∴切线方程为y-4=4(x-2)和y+4/3=4(x+2) 即4x-y-4=0和12x-3y+20=0

注：（1）解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”，还是“过某点的切线”；（2）解决“过某点的切线”问题，一般是设出切点坐标解决。

二、导数的运算

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