2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章 第8节 概率与统计的综合问题 Word版含答案

程中，学生能够提升数据处理的能力，增强基于数据表达现实问题的意识，养成通过数据思考问题的习惯，积极依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验．

概率与频率分布的综合应用

【例1】 (2019·济宁一模)某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45,50)，第二组[50,55)，…，第六组[70,75)，得到如图所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重在(40,50)公斤的有2人，[50,55)公斤的有13人，以样本的频率作为总体的概率．

(1)求频率分布直方图中a，b，c的值；

(2)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55,65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；

(3)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ＝60，σ2＝25.若P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由．

[解](1)由题知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，

2

用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为100＝0.02，0.02

则a＝5＝0.004，

0.13

在[50,55)上有13人，该组的频率为0.13，则b＝5＝0.026， 1－2×0.02－2×0.13

所以2c＝＝0.14，即c＝0.07.

5

(2)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在[55,65)的概率为0.07×10＝0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布B(3,0.7)，

0

则P(X＝0)＝C30.700.33＝0.027， 1P(X＝1)＝C30.710.32＝0.189， 2P(X＝2)＝C30.720.31＝0.441， 3P(X＝3)＝C30.730.30＝0.343，

所以，X的概率分布列为： X P 0 0.027 1 0.189 2 0.441 3 0.343 E(X)＝3×0.7＝2.1. (3)由N(60,25)得σ＝5

由图(1)知P(μ－2σ≤ξ＜μ＋2σ)＝P(50≤ξ＜70)＝0.96＞0.954 5.所以可以认为该校学生的体重是正常的．

[评析] 本题以学生体重情况为背景，设计概率与统计、正态分布的综合应用．体现了数学建模(用频率估计概率、正态分布)、数学运算(求平均数、方差、

求概率)、数据分析、逻辑推理(以直方图中求平均数方差，由正态分布求概率及期望)的学科素养；培养了统计意识，经历“收集数据—整理数据—分析数据—作出推断”的全过程．

概率与统计案例的综合

【例2】 为了解当代中学生喜欢文科、理科的情况，某中学一课外活动小组在学校高一年级文、理分科时进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科意向”学生，低于60分的称为“理科意向”学生．

(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关？

理科意向 文科意向 总计

男 女 总计 50 110 (2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科意向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．

n?ad－bc?2

参考公式：K＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?

2

参考临界值：

P(K2≥k0) 0.10 k0 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 [解](1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为

男 女 总计 理科意向 文科意向 总计 80 40 120 30 50 80 110 90 200 200×?80×50－30×40?2

又K2＝≈16.498>6.635，

120×80×110×90所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关．

(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科意向”的概率为P802＝200＝5.

2??

依题意知ξ～B?3，5?，

??2??2??

所以P(ξ＝i)＝Ci3?5? ?1－5?????

i

3－i

(i＝0,1,2,3)，