2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章 第8节 概率与统计的综合问题 Word版含答案

①若此箱出现的废品率为20%，记抽到的废品数为X，求X的分布列和数学期望；

②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买．

[解](1)在不开箱检验的情况下，一箱产品中正品的价格期望值为： Eξ＝100×(1－0.2)×100×0.5＋100×(1－0.1)×100×0.5＝8500＞8400， ∴在不开箱检验的情况下，可以购买． (2)①X的可能取值为0,1,2，

0P(X＝0)＝C2×0·20×0·82＝0.64， 1P(X＝1)＝C2×0·21×0·81＝0.32， 2P(X＝2)＝C2×0·82×0·20＝0.04，

∴X的分布列为：

X P 0 0.64 1 0.32 2 0.04 E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.

②设事件A：发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，则

1P(A)＝C2×0.2×0.8×0.5＋C12×0.1×0.9×0.5＝0.25，

一箱产品中，设正品的价格的期望值为η，则η＝8 000,9 000， 事件B1：抽取的废品率为20%的一箱，则，

1

×0.2×0.8×0.5P?AB1?C2

P(η＝8000)＝P(B1|A)＝＝＝0.64，

0.25P?A?

事件B2：抽取的废品率为10%的一箱，则

1

×0.1×0.9×0.5P?AB2?C2

P(η＝9000)＝P(B2|A)＝＝＝0.36，

0.25P?A?

∴E(η)＝8000×0.64＋9000×0.36＝8360＜8400，

∴已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，不可以购买．

考点2 概率与统计的综合应用

概率与统计作为考查考生应用

意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．它与其他知识融合、渗透，情境新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．统计以考查抽样方法、样本的频率分布、样本特征数的计算为主，概率以考查概率计算为主，往往和实际问题相结合，要注意理解实际问题的意义，使之和相应的概率计算对应起来，只有这样才能有效地解决问题．

从某技术公司开发的某种产品

中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如

下频率分布直方图：

(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元．记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；

(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．

①利用该正态分布，求P(87.8

②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．

附：150≈12.2.

若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

所以随机变量ξ的分布列为

ξ 90 －30 P 0.67 0.33 所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.

(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数x和样

本方差s2分别为

x＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，

s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.

①因为Z～N(100,150)，

从而P(87.8

②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的概率为0.6827，依题意知X～B(500,0.682 7)，所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.

本题以统计图表为载体，将正

态分布、二项分布、频率分布直方图巧妙的融合在一起，体现了知识的整合性与交汇融合性，搞清这些统计图表的含义，掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算是解决问题的关键．