专题10.8 离散型随机变量的均值与方差-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

第十篇 计数原理、概率、随机变量及其分布 专题10.08 离散型随机变量的均值与方差

【考试要求】

1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；

2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题. 【知识梳理】

1.离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为

X P (1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)方差

n

x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 称D(X)＝∑__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其

i＝1

算术平方根D(X)为随机变量X的标准差. 2.均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数). 3.两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p). (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 【微点提醒】

1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2). 2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).

nM3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝. N

1

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )

(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )

(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( )

(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( )

【教材衍化】

2.(选修2－3P68A1改编)已知X的分布列为

X P －1 1 20 1 31 1 6设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( ) 7A. 3

3.(选修2－3P68练习2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.

B.4

C.－1

D.1

2

【真题体验】

4.(2018·浙江卷)设0

ξ P 则当p在(0，1)内增大时( ) A.D(ξ)减小

B.D(ξ)增大

0 1－p 21 1 22 p 2C.D(ξ)先减小后增大 D.D(ξ)先增大后减小

5.(2019·北京延庆区调研)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：

X P

Y P 0 0.3 1 0.5 2 0.2 0 0.4 1 0.3 2 0.2 3 0.1 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________.

6.(2017·全国Ⅱ卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.

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【考点聚焦】

考点一 离散型随机变量的均值与方差

【例1】 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部1分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，4112

；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时. 623(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).

【规律方法】 (1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.

(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.

【训练1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口111遇到红灯的概率分别为，，. 234

(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

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