2018-2019学年北京市海淀区高二(上)期末数学试卷(理科)

所以直线A1C1与平面A1CE所成角的正弦值为

．

20．PA⊥底面ABCD，如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，点E是PB的中点，点F在边BC上移动． （Ⅰ）若F为BC中点，求证：EF∥平面PAC； （Ⅱ）求证：AE⊥PF；

（Ⅲ）若二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于

，求

的值．

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）证明EF∥PC即可得EF∥平面PAC． （Ⅱ） 证明AE⊥平面PBC 即可得AE⊥PF．

（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0），求出平面AEF的一个法向量为，由二面角E﹣AF﹣B的余弦值等于

，求出m，即可

【解答】解：（Ⅰ）证明：在△PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点， 所以EF∥PC．…..

又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC，…． 所以EF∥平面PAC． …..

- 25 -

（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是正方形，所以BC⊥AB． 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BC． PA∩AB=A

所以BC⊥平面PAB． …..

由于AE?平面PAB，所以BC⊥AE．

由已知PA=AB，点E是PB的中点，所以AE⊥PB． ….. 又因为PB∩BC=B，所以AE⊥平面PBC．….. 因为PF?平面PBC，所以AE⊥PF． …..

（Ⅲ）如图以A为原点建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），F（m，2，0）． 于是

，

．

设平面AEF的一个法向量为=（p，q，r）， 由

得

取p=2，则 q=﹣m，r=m，…．

得=（2，﹣m，m）．…..

由于AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，所以AP⊥平面ABCD． 即

平

面

ABF

的

一

个

法

向

量

为

． …..

根

据

题

意

，

，

解

得

． ….. 由于BC=AB=2，所以

．…..

- 26 -

21．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．

【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．

【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程； （Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON． 【解答】（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为所以

，解得p=1，

， ．

所以 抛物线的方程为y2=2x．

（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）． 将y=k（x﹣2）代入y2=2x，

消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0． 所以 x1x2=4．

- 27 -

由，，两式相乘，得，

注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4． 所以直线OM与直线ON的斜率之积为即 OM⊥ON．

22．已知A，B，C为椭圆W：x2+2y2=2上的三个点，O为坐标原点． （Ⅰ）若A，C所在的直线方程为y=x+1，求AC的长；

（Ⅱ）设P为线段OB上一点，且|OB|=3|OP|，当AC中点恰为点P时，判断△OAC的面积是否为常数，并说明理由． 【考点】椭圆的应用．

【分析】（Ⅰ）根据直线和椭圆的位置关系即可求出AC的长； （Ⅱ）联立直线与椭圆的方程，利用根与系数之间的关系即可求出三角形的面积． 【解答】解：（Ⅰ）由得3x2+4x=0， 解得x=0或

，

，

，

，

∴A，C两点的坐标为（0，1）和∴

．

（Ⅱ）①若B是椭圆的右顶点（左顶点一样），则∵|OB|=3|OP|，P在线段OB上， ∴

，

，求得，

- 28 -