2020年高考理科数学一轮复习大题篇---三角函数与解三角形

2020年高考理科数学一轮复习大题篇---三角函数与解三角形

【归类解析】

题型一 三角函数的图象和性质

【解题指导】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sin t的图象求解． 【例】设f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2. (1)求f(x)的单调递增区间；

(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左π?π

平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g??6?的值． 3【解】 (1)由f(x)＝23sin(π－x)sin x－(sin x－cos x)2 ＝23sin2x－(1－2sin xcos x) ＝3(1－cos 2x)＋sin 2x－1 ＝sin 2x－3cos 2x＋3－1 π

2x－?＋3－1. ＝2sin?3??πππ

由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．

1212

π5ππ5π

kπ－，kπ＋?(k∈Z)?或?kπ－，kπ＋?所以f(x)的单调递增区间是?1212?1212????π

2x－?＋3－1， (2)由(1)知f(x)＝2sin?3??

把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)， π

x－?＋3－1的图象， 得到y＝2sin??3?π

再把得到的图象向左平移个单位长度，

3得到y＝2sin x＋3－1的图象， 即g(x)＝2sin x＋3－1. π?π

所以g?＝2sin ＋3－1＝3. ?6?6

53【训练】 已知函数f(x)＝5sin xcos x－53cos2x＋(其中x∈R)，求：

2(1)函数f(x)的最小正周期； (2)函数f(x)的单调区间；

1

k∈Z??.

(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．

55353

【解】 (1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋ 222π13

2x－?， ＝5?sin 2x－cos 2x?＝5sin?3??2?2?所以函数的最小正周期T＝

2π＝π. 2

πππ

(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

232π5π

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

1212

π5π

kπ－，kπ＋?(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递增区间为?1212??ππ3π

由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，

2325π11π

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，

1212

5π11π

kπ＋，kπ＋?(k∈Z)． 所以函数f(x)的单调递减区间为?1212??ππ

(3)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，

32kπ5π

得x＝＋(k∈Z)，

212

kπ5π

所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．

212π

由2x－＝kπ(k∈Z)，

3kππ

得x＝＋(k∈Z)，

26

kππ?

所以函数f(x)的对称中心为??2＋6，0?(k∈Z)．

题型二 解三角形

【解题指导】 根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍．

【例】 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.

(1)求角A和边长c；

2

(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【解】 (1)∵sin A＋3cos A＝0， ∴tan A＝－3， 2π

又0

3

由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccos A，

?－1?， 即28＝4＋c2－2×2c×?2?即c2＋2c－24＝0，

解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4. (2)∵c2＝a2＋b2－2abcos C， ∴16＝28＋4－2×27×2×cos C， ∴cos C＝∴CD＝

2

， 7

AC2

＝＝7， cos C2

7

1

∴CD＝BC，

2

113

∴S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×4×2×＝23，

2221

∴S△ABD＝S△ABC＝3.

2

3

【训练】在△ABC中，∠A＝60°，c＝a.

7(1)求sin C的值；

(2)若a＝7，求△ABC的面积．

3

【解】 (1)在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝a，

7csin A3333

所以由正弦定理得sin C＝＝×＝.

a7214(2)因为a＝7， 3

所以c＝×7＝3.

7

由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得 1

72＝b2＋32－2b×3×，

2解得b＝8或b＝－5(舍去)．

3

113所以△ABC的面积S＝bcsin A＝×8×3× 222＝63.

题型三 三角函数和解三角形的综合应用

【解题指导】 三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响．

【例】如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝22 米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AF

(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；

(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值． 【解】 (1)过点F作FM⊥BE，垂足为M.

π

在Rt△FME中，MF＝2，∠EMF＝，∠FEM＝θ，

222

所以EF＝，ME＝，

sin θtan θ22

故AF＝BM＝EF－EM＝－，

sin θtan θ1

所以f(θ)＝(AF＋BE)×AB

2

22?1?242－＋＝××2＝－，

2?sin θtan θsin θ?sin θtan θπ由题意可知，AF

2

π

且当点E重合于点C时，EF＝EB＝22，FM＝2，θ＝，

4ππ?42

所以函数f(θ)＝－的定义域为??4，2?. sin θtan θ(2)由(1)可知，

4