推荐精品数学选修2-1苏教版：第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1

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§2.4 抛物线 2.4.1 抛物线的标准方程

学习目标 1.掌握抛物线的标准方程.2.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．

知识点 抛物线的标准方程 思考 抛物线的标准方程有何特点？

答案 (1)对称轴为坐标轴；(2)p为大于0的常数，其几何意义表示焦点到准线的距离；(3)p

准线与对称轴垂直，垂足与焦点关于原点对称；(4)焦点、准线到原点的距离都等于. 2梳理 由于抛物线焦点位置不同，方程也就不同，故抛物线的标准方程有以下几种形式：y2＝2px(p>0)，y2＝－2px(p>0)，x2＝2py(p>0)，x2＝－2py(p>0)．

现将这四种抛物线对应的图形、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下：

图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0) ?p，0? ?2?px＝－ 2y2＝－2px(p>0) ?－p，0? ?2?px＝ 2x2＝2py(p>0) ?0，p? ?2?py＝－ 2教育教学咨询

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x2＝－2py(p>0)

1．抛物线的方程都是y关于x的二次函数．(×) 2．方程x2＝2py(p＞0)表示开口向上的抛物线．(√) 3．抛物线的焦点到准线的距离为p.(√) 4．抛物线的开口方向由一次项确定．(√)

?0，－p? 2??py＝ 2

类型一 由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程

例1 已知抛物线的方程y＝ax2(a≠0)，求它的焦点坐标和准线方程． 1

解 将抛物线方程化为标准方程x2＝y(a≠0)，

a则抛物线焦点在y轴上， 1

(1)当a＞0时，p＝，

2a10，?， ∴焦点坐标F??4a?1

准线方程y＝－.

4a1

(2)当a＜0时，p＝－，

2a10，?， ∴焦点坐标F??4a?1

准线方程y＝－，

4a

110，?，准线方程是y＝－. 综合(1)(2)知抛物线y＝ax2(a≠0)的焦点坐标是F??4a?4a

反思与感悟 根据抛物线的方程求焦点坐标和准线方程时，应首先把方程化为标准形式，再分清抛物线是四种中的哪一种，然后写出焦点及准线方程．

跟踪训练1 (1)若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝________；准线方程为________． 答案 2 x＝－1

解析 因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，

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pp

所以＝1，p＝2，准线方程为x＝－＝－1.

22(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程． ①y2＝40x；②4x2＝y；③3y2＝5x；④6y2＋11x＝0. 解 ①焦点坐标为(10,0)，准线方程为x＝－10. 1②由4x2＝y得x2＝y.

411∵2p＝，∴p＝.

48

11

0，?，准线方程为y＝－. ∴焦点坐标为??16?16555

③由3y2＝5x，得y2＝x.∵2p＝，∴p＝. 33655，0?，准线方程为x＝－. ∴焦点坐标为??12?1211

④由6y2＋11x＝0，得y2＝－x，

6

1111－，0?，准线方程为x＝. 故焦点坐标为??24?24类型二 求解抛物线的标准方程

例2 根据下列条件分别求抛物线的标准方程． (1)抛物线的焦点是双曲线16x2－9y2＝144的左顶点；

(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线交于点A，AF＝5. x2y2

解 (1)双曲线方程可化为－＝1，

916左顶点为(－3,0)，

－p

由题意设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)且＝－3，

2∴p＝6，∴抛物线的方程为y2＝－12x.

(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的方程为y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)，由抛物线定义得5＝pm＋?. AF＝?2??

又(－3)2＝2pm，∴p＝±1或p＝±9， 故所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x. 反思与感悟 抛物线标准方程的求法

(1)定义法：建立适当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出p，最后写出标准方程．

(2)待定系数法：由于标准方程有四种形式，因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上，进而确定方程的形式，然后再利用已知条件确定p的值． 教育教学咨询

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跟踪训练2 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(－3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值，并写出抛物线的焦点坐标和准线方程． 解 设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)， p

－，0?，由题意， 则焦点F??2?m＝6p，??

得? p?22??? m＋?－3＋2?＝5，

2

?p＝4，?p＝4，解得?或?

?m＝26?m＝－26.故所求的抛物线方程为y2＝－8x，m＝±26. 抛物线的焦点坐标为(－2,0)，准线方程为x＝2. 类型三 抛物线在实际生活中的应用

例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5m时，水面宽为8m，一小船宽4m，高2m，3

载货后船露出水面上的部分高m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时，小船

4开始不能通航？

解 如图，以拱桥的拱顶为原点，以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标8

系．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意可知，点B(4，－5)在抛物线上，故p＝，得516

x2＝－y.当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，

516533

由22＝－yA，得yA＝－.又知船面露出水面上的部分高为m，所以h＝|yA|＋＝2(m)．所

5444以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2m时，小船开始不能通航．

反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标准方程进行求解．

跟踪训练3 喷灌的喷头装在直立管柱OA的顶点A处，喷出水流的最高点B高5m，且与OA所在的直线相距4m，水流落在以O为圆心，半径为9m的圆上，则管柱OA的长是多少？

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