十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题19 不等式选讲 (含答案)

-5x,x<1

2,

则y={-x-2,12≤x≤1,其图象如图所示.

3x-6,x>1.

从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0

(2)当x∈[-a

12,2)时,f(x)=1+a,不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.

所以x≥a-2对x∈[-a

2,1

2)都成立. 故-a≥a-2,即a≤42

3

. 从而a的取值范围是(-1,43].

20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤13;

2

(2)a2+bc2

bc+a≥1.

【解析】证明(1)由a2

+b2

≥2ab,b2

+c2

≥2bc,c2

+a2

≥2ca, 得a2

+b2

+c2

≥ab+bc+ca.

由题设得(a+b+c)2

=1,即a2

+b2

+c2

+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤1

3. 2

(2)因为a2b

b+b≥2a,

c+c≥2b,c2

a+a≥2c,

a2b

2

故b+c+c2

a+(a+b+c)≥2(a+b+c), 2

即a2bb+c+c22

≥a+b+c.所以a2+c2

ab+b

ca≥1. 21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

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-2x+5,x≤2,

【解析】(1)当a=-3时,f(x)={1,2

2x-5,x≥3.当x≤2时,由f(x)≥3,得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2

当x≥3时,由f(x)≥3,得2x-5≥3,解得x≥4; 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.

当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0. 故满足条件的a的取值范围为[-3,0].

22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 【解析】(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1.

故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}. (2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.

此不等式化为不等式组{x≥a,

x-a+3x≤0

或{x≤a,a-x+3x≤0,

即{x≥a,x≤a,x≤a或{x≤-a2.

4因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x≤-a

2}. 由题设可得-a

2=-1,故a=2.

23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数y=f(x)的图象;

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.

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-2x+5,x<2,

【解析】(1)由于f(x)={则函数y=f(x)的图象如图所示.

2x-3,x≥2,

(2)(图象应用)

由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,当且仅当a≥2或a<-2时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点.故不等式f(x)≤ax的解集非空时,a的取值范围为(-∞,-2)∪[,+∞).

12

1

15