十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题19 不等式选讲 (含答案)

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题19不等式选讲

1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:(1)111

222

a+b+c≤a+b+c; (2)(a+b)3

+(b+c)3

+(c+a)3

≥24.

2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.

3.(2019·全国3·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 设x,y,z∈R,且x+y+z=1.

(1)求(x-1)2

+(y+1)2

+(z+1)2

的最小值;

(2)若(x-2)2

+(y-1)2

+(z-a)2

≥13

成立,证明:a≤-3或a≥-1.

4.(2018·全国1·文T23理T23)[选修4—5:不等式选讲]已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.

5.(2018·全国2·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集; (2)若f(x)≤1,求a的取值范围.

6.(2018·全国3·文理23)[选修4—5:不等式选讲]设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图像;

(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.

7.(2017·全国1·理T23文T23)已知函数f(x)=-x2

+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.

1

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;

(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围. 8.(2017·全国3·理T23文T23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式f(x)≥1的解集;

(2)若不等式f(x)≥x2

-x+m的解集非空,求m的取值范围. 9.(2017·全国2·理T23文T23)已知a>0,b>0,a3

+b3

=2.证明: (1)(a+b)(a5

+b5

)≥4; (2)a+b≤2.

10.(2016·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)在题图中画出y=f(x)的图象; (2)求不等式|f(x)|>1的解集.

11.(2016·全国3·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;

(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.

12.(2016·全国2·理T24文T24)已知函数f(x)=|x-1

1

2|+|x+2|,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M;

(2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.

13.(2015·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;

(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 14.(2015·全国2·理T24文T24)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明: (1)若ab>cd,则√a+√b>√c+√d; (2)√a+√b>√c+√d是|a-b|<|c-d|的充要条件. 15.(2015·湖南·理T16文T16)设a>0,b>0,且a+b=1

1a+b, 证明:

2

(1)a+b≥2;

(2)a+a<2与b+b<2不可能同时成立.

16.(2014·全国1·理T24文T24)若a>0,b>0,且+=√ab. (1)求a+b的最小值;

(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.

17.(2014·全国2·理T24文T24)设函数f(x)=|x+|+|x- a|(a>0). (1)证明:f(x)≥2;

(2)若f(3)<5,求a的取值范围.

18.(2014·辽宁·理T24文T24)设函数f(x)=2|x-1|+x-1,g(x)=16x-8x+1.记f(x)≤1的解集为M,g(x)≤4的解集为N. (1)求M;

(2)当x∈M∩N时,证明:xf(x)+x[f(x)]≤. 19.(2013·全国1·理T24文T24)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (1)当a=-2时,求不等式f(x)

(2)设a>-1,且当x∈[-2,2)时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.

20.(2013·全国2·理T24文T24)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤;

a2(2)bb+c2

2

2

2

3

3

2

2

1a1b1a14a1

13c2

+a≥1.

21.(2012·全国·理T24文T24)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|. (1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

22.(2011·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集; (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值. 23.(2010·全国·理T24文T24)设函数f(x)=|2x-4|+1. (1)画出函数y=f(x)的图象;

(2)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围.

3

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题19不等式选讲

1.(2019·全国1·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)a+b+c≤a+b+c; (2)(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.

【解析】(1)因为a+b≥2ab,b+c≥2bc,c+a≥2ac,又abc=1,故有a+b+c≥ab+bc+ca=所以++≤a+b+c. (2)因为a,b,c为正数且abc=1, 故有(a+b)+(b+c)+(c+a) ≥3√(a+b)(b+c)(a+c) =3(a+b)(b+c)(a+c)

≥3×(2√ab)×(2√bc)×(2√ac)=24. 所以(a+b)+(b+c)+(c+a)≥24.

2.(2019·全国2·理T23文T23)[选修4—5:不等式选讲] 已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a). (1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集; (2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|x+|x-2|(x-1). 当x<1时,f(x)=-2(x-1)<0; 当x≥1时,f(x)≥0.

所以,不等式f(x)<0的解集为(-∞,1). (2)因为f(a)=0,所以a≥1. 当a≥1,x∈(-∞,1)时,

2

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

111

222

ab+bc+ca

abc=++. 1a1b1c1a1b1c222

3

333

4