2018年高考数学（理）二轮复习练习：专题限时集训6 随机变量及其分布

专题限时集训(六) 随机变量及其分布

(对应学生用书第89页)

(限时：40分钟)

题型1 相互独立事件的概率与条件概率 题型2 离散型随机变量的分布列、期望和方差的应用 题型3 正态分布问题 一、选择题 15

1．(2017·长春三模)将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，16

则n的最小值为( )

A．4 B．5 C．6 D．7

1,3,4,6,12 2,7,8,11,13 5,9,10,14 ?1?15

A [由题意，1－??≥，∴n≥4，

?2?16

∴n的最小值为4，故选A.]

2．(2017·绍兴一模)已知p＞0，q＞0，随机变量ξ的分布列如下：

ξ np q q p p 422

若E(ξ)＝，则p＋q＝( )

9

【导学号：07804045】

415

A. B． C. D．1 9294C [∵p＞0，q＞0，E(ξ)＝.

9∴由随机变量ξ的分布列的性质得：

q＋p＝1???4pq＋qp＝?9?

，

45222

∴p＋q＝(q＋p)－2pq＝1－＝.故选C.]

99

3．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概

2

率均为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为

3( )

1224A. B． C. D． 3535

2221212220B [由题意，甲获得冠军的概率为×＋××＋××＝，

33333333272121228

其中比赛进行了3局的概率为××＋××＝，

333333278202

∴所求概率为÷＝，故选B.]

27275

4．(2017·河北“五个一名校联盟”二模)某个电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开

11

关第一次闭合后出现红灯的概率为，两次闭合后都出现红灯的概率为，则在第一次闭合后

25出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.

1121

B． C. D． 10552

C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A，“第二次闭合后出现红灯”为事件B，11

则由题意可得P(A)＝，P(AB)＝，则在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合出现251

52PAB红灯的概率是P(B|A)＝＝＝.故选C.]

PA15

2

13222

5．设随机变量η服从正态分布N(1，σ)，若P(η＜－1)＝0.2，则函数f(x)＝x＋x＋ηx3

没有极值点的概率是( )

A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 1322

C [∵函数f(x)＝x＋x＋ηx没有极值点，

3∴f′(x)＝x＋2x＋η＝0无解， ∴Δ＝4－4η＜0， ∴η＜－1或η＞1，

∵随机变量η服从正态分布N(1，σ)，P(η＜－1)＝0.2， ∴P(η＜－1或η＞1)＝0.2＋0.5＝0.7，故选C.]

6．甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中

3

目标得0分，若甲、乙两人射击的命中率分别为和P，且甲、乙两人各射击一次得分之和为

59

2的概率为.假设甲、乙两人射击互不影响，则P值为( )

20

【导学号：07804046】

2

22

2

3431A. B． C. D． 5544

C [设“甲射击一次，击中目标”为事件A，“乙射击一次，击中目标”为事件B，则“甲3射击一次，未击中目标”为事件A，“乙射击一次，未击中目标”为事件B，则P(A)＝，5

P(A)＝1－＝，P(B)＝P，P(B)＝1－P，

329

依题意得：×(1－P)＋×P＝，

55203

解得，P＝，故选C.]

4

7．(2016·厦门模拟)某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，

每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( ) A．100 C．300

B．200 D．400

32

55

B [将“没有发芽的种子数”记为ξ，则ξ＝1,2,3，…，1 000，由题意可知ξ～B(1 000,0.1)，所以E(ξ)＝1 000×0.1＝100，又因为X＝2ξ，所以E(X)＝2E(ξ)＝200，故选B.]

8．(2017·合肥二模)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记

检测的次数为ξ，则E(ξ)＝( ) A．3 C.18

5

7B． 2D．4

A21

的所有可能取值为2,3,4.P(ξ＝2)＝2＝，P(ξ＝3)＝

A510

2131

2

B [由题意知，ξ

3×2×1＋2×3×1＋3×2×13C3C2A3C2313

＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋34

A510A55101037

4×＝，故选B.] 52二、填空题

9．(2017·临汾三模)2017年高考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统

计，发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,8)的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是________． 31

[由题意，英语成绩超过95分的概率是， 82

2

?1?2

∴在全市随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是C4·???2?

2

2

?1?3·??＝.] ?2?8

10．(2017·江门一模)某个部件由3个型号相同的电子元件并联而成，3个电子元件中有一个正

常工作，则该部件正常工作，已知这种电子元件的使用年限(单位：年)服从正态分布，且使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，那么该部件能正常工作的时间超过9年的概率为________．

0．488 [∵使用年限少于3年的概率和多于9年的概率都是0.2，

∴P(0＜ξ＜3)＝P(ξ＞9)＝0.2， ∴正态分布的对称轴为ξ＝6，

∴9年内每个电子元件能正常工作的概率为0.2， ∴9年内部件不能正常工作的概率为0.8＝0.512，

∴该部件能正常工作的时间超过9年的概率为1－0.512＝0.488.]

11．(2017·蚌埠二模)某种游戏每局的规则是：参与者现在从标有5、6、7、8、9的相同小球中

随机摸取一个，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其资金(单位：元)．若随机变量ξ和η分别表示参与者在每一局游戏中的赌金与资金，则E(ξ)－E(η)＝________(元)． 1

3 [由题意可得：P(ξ＝k)＝(k＝5,6,7,8,9)．

55＋6＋7＋8＋9

可得E(ξ)＝＝7.

5η的取值为：2,4,6,8. 42

其中P(η＝2)＝2＝ ，

C55

3

P(η＝4)＝2＝，P(η＝6)＝2＝，P(η＝8)＝2＝，

其分布列为：

η 2 2 54 3 106 1 58 1 1033C51021C551C5110

P 2311∴E(η)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4.

510510∴E(ξ)－E(η)＝7－4＝3(元)．]

12．(2017·嵊州市二模)一个盒子中有大小，形状完全相同，且编号分别为1,2的两个小球，从

中有放回地先后摸两次，每次摸一球，设摸到的小球编号之和为ξ，则P(ξ＝2)＝________，