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2010年学而思杯数学试题——解题精讲
【题目1】a=10.8+10.98+10.998+10.9998+10.99998，a的整数部分是 。 解：a=11-0.2+11-0.02+11-0.002+11-0.0002+11-0.00002=55-0.22222
所以a的整数部分是54。
【题目2】四个质数2、3、5、7的乘积为 ，经验证200到220之间仅有一个质数，
请问这个质数是 。
解：四个质数乘积2*3*5*7=210；200到220的质数，所以偶数不用看，只看奇数
201，203，205，207，209，211，213，215，217，219 排除能被5整除的205、215
排除能被3整除的201，207，213，219 剩下203、209、211、217
注意210能被7整除，所以和210相差7的203和217都能被7整除
剩下209和211，根据能被11整除的特征，209肯定能被11整除
所以只能211是质数。
【题目3】如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米的三个正方体紧贴在一起，则所得到的立体
图形的表面积是 平方厘米。
解：把顶面往下补，把最下面的这个正方体补全了，上面两个正方体各剩4个侧面，
表面积一共是：3*3*6+2*2*4+1*1*4=54+16+4=74
【题目4】12个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有两个人相邻，共有 种不同的选法。
解：分两步，第一步：选出两个相邻的人有12种选法
第二步：再选一个和他们两个不相邻的，有8种选法
根据乘法原理，共有12*8=96种
解：由于分子和分母相差7，所以当分子是7的倍数时，改分数就不是最简分数，
1到2002中7的倍数的数共有286个，故最简分数有2002-286=1716个。
【题目7】放满一个水池，如果同时打开1，2号阀门，则12分钟可以完成；如果同时
打开1，3号阀门，则15分钟可以完成；如果单独打开1号阀门，则20分钟可
以完成；那么，如果同时打开1，2，3号阀门， 分钟可以完成。
【题目8】6支球队进行足球比赛，每两支队之间都要赛一场，规定胜一场得3分，平一场
得1分，负一场不得分。全部比赛结束后，发现共有4场平局，且其中5支球队共
得了31分，则第6支球队得了 分。
解：6支球队共比赛C62=15场，由于有4场平局，故共产生41分，其中5支球队共
得31分，则第6支球队得了41-31=10分。
【题目9】如果一个至少两位的自然数N满足下列性质：在N的前面任意添加一些数字，使得
得到的新数的数字和为N，但无论如何添加，这样得到的新数一定不能被N整除，
则称N为“学而思数”。那么最小的“学而思数”是 。
解：求最小的“学而思数”N，而且N至少是两位数，故从最小的两位数10开始
考虑，显然10不满足条件，接着考虑11，在11前面添加一些数字构成一个
数字和是11的多位数，这个多位数的奇数位与偶数位的数字和不可能相等，
也不可能相差11的倍数，11是满足要求的最小的学而思数。
【题目10】仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形ABC和三角形BCD的
面积比。
解：连接DA并延长交BC边的延长线于E点，然后测出EA和ED的长度，由于EA与ED在
一条直线上，所以测一次就能EA和ED长度，根据共边定理可知，三角形ABC与
三角形BCD的面积比就等于EA比ED，故最少测量1次就可解决问题。
【共边定理易趣数学《几何专题班》第二讲重点讲过】
【题目11】将一个立体纸盒沿着棱切开，使它展开成下图所示的图形，一共要剪开 条棱。
解：容易看出这个展开图可以拼成一个封闭的立体图形，展开图外围一共有12条
边；这个封闭的立体图像要展开成图中的展开图，每剪开一条棱，就会产生
外围的2条边；所以需要剪开12/2=6条棱
【题目12】学学和思思各开一艘游艇，静水中学学每小时行3.3千米，思思每小时行2.1
千米。现在两游艇于同一时刻相向出发，学学从下游上行，思思从相距27千
米的上游下行，两艇于途中相遇后，又经过4小时，学学到达思思的出发地。
水流速度是每小时 千米。
解：相遇时间和水流速度无关，所以相遇时间=27/(3.3+2.1)=5小时 所以学学走27千米共用了5+4=9小时，所以学学的逆水速度=27/9
=3千米/小时水流速度=3.3-3=0.3千米/小时
【题目13】三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合
条件的三位数中最小的数最大是 。 解：有两种方法：
方法一：三个连续三位数的和能被13整除，这三个数除以13的余数只能分别
是12，0，1，所以最大的数除以13余1，所以最大的数要满足两个条件：
①除以13余1 ②除以9余4
要满足第一个条件可以假设最大数为a=13K+1，要使13K+1为三位数
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