矩阵与变换 极坐标与参数方程

6.

（1）由条件得矩阵M??2?0??1（2）?1?2M???0???0?， ?1?3??0?，它的特征值为2和3，对应的特征向量为?1?及?0?；

?0??1?3??????x2y2??1在M?1的作用下的新曲线的方程为x2?y2?1． 椭圆

497. （1）

2?1?2?1?A???det(A)??2， ，??43?43????1??32????22???22??1?2? ?1??3?2?矩阵A的逆矩阵A?1?????4??2（2）AX?B，?X?A?1B

1??2?2??10????2??． ???46?02???1??3??2??28.

?ab??a设M??，则由??c?cd??b?? 1?? 1??a?b?1，，得 ????1???1?d???????c?d??1．再由??ab??1??3??a?b?3，，得 ????????cd??1??1??c?d?1．?21?联立以上方程组解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故M???．…………………… 10分 01??9.

设矩阵M???ab??ab??1??1??a?b?3，则由条件得，从而， ?3?????????cd??cd??1??1??c?d?3?ab???1??3???a?2b?3又???2???0?，从而??c?2d?0，联立，解之得a?1,b?2,c?2,d?1

cd????????12?故M?? ??21?10.

5

11.解：矩阵A???1a?的特征多项式是f(?)?(??1)(??3)?2a， ??23?由f(?1)?0得a?4，

令f(?)?0，则???1或??5，

?(5?1)x?4y?0?x?1解方程组?可得一组不为零的解是?

y?1?2x?(5?3)y?0???1?所以矩阵A的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是e???．

?1?12.a??13. （1）由?135,b? 24?2a??1???4????2?=?0?， ∴2?2a??4?a?3. 21??????（2）由（1）知M???23?，则矩阵M的特征多项式为 ??21? 6

f(?)???2?2?3?(??2)(??1)?6??2?3??4 ??1令f(?)?0，得矩阵M的特征值为?1与4. 当???1时， ??(??2)x?3y?0?x?y?0

?2x?(??1)y?0??1?; ???1?∴矩阵M的属于特征值?1的一个特征向量为? 当??4时， ??(??2)x?3y?0?2x?3y?0

??2x?(??1)y?0?3??2?∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为??. 14.

（Ⅰ）设点M的坐标为(x，y)，则HP?(6,b)，PQ?(a,?b)，

PM?(x,y?b)，MQ?(a?x,?y)， 由HP?PQ，得6a?b2?0．

3??x?2(a?x)?a?x由PM＝2MQ，得?，即?2，

y?b??2y???b?3y由6a?b2?0得y2?x，故点M的轨迹C为y2?x(x?0)． ……5分 （Ⅱ）依题意2sin2t?3cost，即2cos2t?3cost?2?0，∴cost?又0＜t＜2π，∴t?15.

将曲线C1的参数θ消去可得(x－3)＋(y－4)＝1．

将曲线C2化为直角坐标方程为x＋y＝1． ………………5分

曲线C1是以(3，4)为圆心，1为半径的圆；曲线C2是以(0，0)为圆心，1为半径的圆， 可求得两圆圆心距为32?42＝5，

所以，AB的最小值为5－1－1＝3． ………………10分 16.

?)，连结PO，PC，OC，在△POC中，由余弦定理得如图，设圆上任意一点P(?，2

22

2

1， 2?3，

5?． ……10分 3?2?2?22?cos????1，整理得?2?22?cos????7?0，故所求圆的极坐标方

?4?4???? 7

程为?2?22?cos???????74?0．

17.

?（1）直线的参数方程为??x?1?tcos???x?1?3t?6，即?2． ????y?1?tsin?6???y?1?12t?? （2）把直线?x?1?3t?21代入x2?y2?4， ???y?1?2t得

(1?32t)2?(1?12t)2?4,t2?(3?1)t?2?0，

则点P到A,B两点的距离之积为2． 18. （1）由??x?sin?,??[0,2?)得 x2?y?1,x?[?1,1]

?y?cos2?（2）由?sin(???4)??2得曲线D的普通方程为x?y?2?0 ??x?y?2?0得x2?x?3?0

?x2?y?1解得x?1?132?[?1,1],故曲线C与曲线D无公共点. 19.

x2已知椭圆y2?x?acos?a2?b2?1的参数方程为??y?bsin?.

由题设,可令M(acos?,bsin?)，其中0????2.

所以，SS11四边形MAOB??MOA?S?MOB?2OA?yM?2OB?xM

8

t1t2??2，