2020年江苏省苏北七市(南通市、泰州市、扬州市、徐州市、淮安市、连云港市、宿迁市)高考数学三模试卷

则??′(??)=

??+?√??2+??+√??2+??+

2323132323<0，故??(??)在(0,2)递减，

√6)， 3

??(0)=2+

√6，??(2)3

=√6，因此??(??)∈[√6,2+

6综上可得??∈[√6,2+√].

3

方法二、??1??2=

2

212???6??[?2

1+3??212??2?61+3??2

，则??1??2=??2(??1?2)(??2?2)=??2[??1??2?2(??1+??2)+4]=

2??21+3??2?

12??21+3??2+4]=?

，

P在以MN为直径的圆上， ?????? ??????????? =0，(??1???)(??2???)+??1??2=0，??1??2???(??1+??2)+??2+??1??2=0， 则????即

12??2?61+3??2化为(3??2?12??+10)??2=6???2，由于P为右交点，?1+3??2+??2?1+3??2=0，

12????22??2

故??>2，

??>26因此{，解得??∈[√6,2+√]. 22

(6???)(3???12??+10)≥03

【解析】(1)设焦距为2c，运用离心率公式，可得a，b，c的方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；

(2)由(1)可得??=2，即??1(?2,0)，??2(2,0)，联立直线方程和椭圆方程，求得M，N，即可得到所求和；

(3)方法一、讨论直线MN的斜率不存在，求得|????|，可得t的值；MN的斜率存在时，设MN：??=??(???2)，??(??1,??1)，??(??2,??2)，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，弦长公式，结合圆的方程和换元，运用函数的单调性可得所求范围；

方法二、运用直径所对的圆周角为直角，结合向量的数量积的性质和坐标表示，化简整理，可得t的不等式组，解得t的范围．

本题考查椭圆和圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查函数的单调性的运用，考查化分类讨论思想和方程思想、化简运算能力和推理能力，属于难题．

19.【答案】解：(1)因为????=2

两式相除得：????=2

??(???1)2，所以?????1=2

(???1)(???2)

2 (??≥2)，

??(???1)?(???1)(???2)

2=2???1 (??≥2)，

当??=1时，??1=??1=1=21?1，符号上式， ∴????=2???1 (??∈???)，

当??=2时，????=?????????+2=2???1?2??+1=4??；

(2)由于????=????????+1，且??1=1，所以??1=??1????+1=????+1，??2=??2????+2=(??+1)(????+1+??)．

所以??2???1=??2+??(????+1+1)=4， 由于d和k都为正整数，所以??≥1， 所以????+1≥??2=1+??≥2，

所以??2+??(????+1+1)=4≥??2+3??.解得??≤1， 所以??=1，即????=??．

所以??2+??(????+1+1)=4=????+1+2，即????+1=2，解得??=1． 所以????=????+1????=??(??+1)，

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所以??=?????+1．

??

111

则：????=1?2+2?3+?+?????+1=1???+1， 所以??2020=1?2021=2021．

(3){????}是等比数列，公比为??2，且对任意的??∈???，所以

2

，所以?????????+2??=????+??

????+??????

????+1????

1

2020

111111

=

????+??????

?

????+2??????+??

=??2??．

=

????+2??

????+??，所以????+12

)????

????+??????

=????，

所以则(

????+1????

=

????+1?????+1+???????????+??

=

2????????+12?????????

=(=??2，

????+12

)????????+1????

=??2， =??．

所以

故数列{????}是等比数列．

【解析】(1)直接利用关系式的变换的应用求出数列通项公式．

(2)首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果． (3)利用等比数列的的定义的应用求出结果． 本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，等比数列的定义的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．

20.【答案】解：(1)因为??(??)=

因为??(??)=

??+????????????????????

，则??′(??)=

?????????????2

=

??(1???????)

??2

，

，所以??>0，

则当??∈(0,??)时，??′(??)>0，??(??)单调递增， 当??∈(??,+∞)时，??′(??)<0，??(??)单调递减，

所以当??=??时，??(??)的极大值??(??)=??=??，解得??=1． (2)当??=??时，??(??)=

??????????

??

1

，??(??)=

2??0

??+1

，则??′(??)=??????(1???????)

??2

，??′(??)=

???????

，

由题意可知，??′(??0)??′(??0)=

??(1???????0)???0

?????0=?1，整理得??0????0+????????0=??，

1

设??(??)=??????+????????，则??′(??)=(??+1)????+??>0，所以??(??)单调递增， 因为??(1)=??，所以??0=1． (3)由题意可知，整理得

ln(??????)??????????????

??+??????????

?

??????????

>0，对任意??∈(0,1)恒成立，

>

????????

，对任意??∈(0,1)恒成立，

设??(??)=，由(1)可知，??(??)在(0,1)上单调递增，

且当??∈(1,+∞)时，??(??)>0，当??∈(0,1)时，??(??)<0，

若??????≥1>??，则??(??????)≥0>??(??)，

若0??(??)，且??(??)在(0,1)上单调递增，所以??????>??，

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综上可知，??????>??对任意??∈(0,1)恒成立，即????

【解析】(1)由题意可知??>0，先对??(??)求导，分析单调性，得到极大值，让其等于??，即可解得a的值．

(2)分别求出??(??)，??(??)在??=??0处切线的斜率，让它们乘积等于1，即可解得??0的值． (3)问题可以转化为

ln(??????)??????

1

11

??

1?????????

>0，所以??(??)单调递增，

>

????????

，对任意??∈(0,1)恒成立，设??(??)=

????????

??(??)，由(1)可知，

??(??)>0，??(??)<0，在(0,1)上单调递增，且当??∈(1,+∞)时，当??∈(0,1)时，可得??????>??，也就是??????>??对任意??∈(0,1)恒成立，即????

本题考查导数的综合应用，恒成立问题，属于中档题．

1

? =[]是属于特征值n的一个特征向量，得????? =????? ， 21.【答案】解：由??

1

??1??11+??1

∵????? =[][]=[]，????? =??[]=[]，

??32111∴1+??=3=??，解得??=2， 12

∴矩阵??=[]，

21??

设矩阵的逆矩阵???1=[

??

??]， ??

??

??

12??????+2????+2??10

][]=[]=[]， 则?????1=[

0121????2??+??2??+??

??+2??=1

1221??+2??=0

∴{，解得??=?3，??=3，??=3，??=?3， 2??+??=02??+??=1解得???1=[

1

? =[]是属于特征值n的一个特征向量，得????? =????? ，然后求出m，得到【解析】由??

1??

矩阵M，再设矩阵的逆矩阵???1=[

??

10??

]，由?????1=[]，求出M的逆矩阵???1．

01??

?3

231

23

?

1]． 3

本题考查逆矩阵的求法，特征向量、逆矩阵等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

22.【答案】解：由??=2??????????得??2=2????????????， ∴圆C的方程为??2+??2?2????=0， 把参数方程为{

??=√3+??

(??为参数)，消去参数t，可得：普通方程：√3??????2=0，

??=1+√3??第15页，共17页

直线与圆有公共点，可得：??=

|????2|√3+1≤??，解得??≥2．

∴实数r的取值范围为[2,+∞)．

【解析】求出圆的直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离与半径列出不等式求解即可．

本题圆的极坐标方程以及直线的参数方程的应用，点到直线的距离公式的应用，考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．

???1=??，??>1，??>0，【答案】证明：设???1=??，又??>1，则??>0，且??+??=23.

??+???2=2， ∴???1+???1=

??2

??2

(??+1)2??

+

(??+1)2

??

≥

(2√??)2??

+

(2√??)2

??

=

4????

+

4????

≥2√16=8，当且仅当??=

??=1，即??=??=2时，等号成立， 故原命题得证．

【解析】设???1=??，???1=??，则??>0，??>0，且??+??=2，再利用基本不等式即可得证．

本题考查基本不等式的运用，考查换元思想及推理论证能力，属于基础题． 24.【答案】解：(1)??的可能取值为1，2，3，4，

??(??=1)=，??(??=2)=?=，??(??=3)=??=，

66566546??(??=4)=??=， 6542∴??的分布列是： X P 15

4

3

1

1

51

1

5

4

1

1

1 6 1

1

1 2 6 11 3 6 1 4 2 1??(??)=1×6+2×6+3×6+4×2=3． (2)每扇门被打开的概率为

3???1

??514??6

=，

3

2

2

设被打开的门的数量为??，则??～??(5,3)，

4

?()4?=∴恰好成功打开4扇门的概率为：??(??=4)=??5． 33243

2

1

80

【解析】(1)根据互斥事件概率公式计算X的可能取值对应的概率，得出分布列和数学

期望；

(2)根据二项分布的概率公式计算概率．

本题考查了离散型随机变量的分布列，二项分布，属于基础题．

25.【答案】解：(1)抛物线??2=2????(??>0)的焦点为??(2,0)，

准线与x轴的交点为??(?2,0)，

2

当????⊥??轴时，A的横坐标为2，所以????=2??????=??2，

????

??

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