高中奥林匹克物理竞赛解题方法之十四近似法

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T?2?m2?a2am ?k33kQq例9 欲测电阻R的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图14—9所示的电路.第一次与电流计并联

的电阻r为50.00Ω，电流计的示度为3.9格；第二次r为100.00Ω，电流计的示度为5.2格；第三次r为10.00Ω，同时将待测电阻R换成一个20.00kΩ的标准电阻，结果电流计的示度为7.8格.已知电流计的示度与所通过的电流成正比，求电阻R的阻值.

解析 在测试中，除待求量R外，电源电动势E，电源内阻r，电流计内阻Rg以及电流计每偏转一格的电流I0，均属未知.本题数据

不足，且电流计读数只有两位有效数字，故本题需要用近似方法求解.

设电源电动势为E，电流计内阻为Rg，电流计每偏转一格的电流为I0，用欧姆定律对三次测量的结果列式如下：

E50Rg50?Rg100Rg100?Rg10Rg10?Rg?R?rE?50Rg50?Rg100Rg?1?3.9I0 Rg??R?rE100?Rg10Rg?1?5.2I0 Rg??20000?r10?Rg?1?7.8I0 Rg从第三次测量数据可知，当用20kΩ电阻取代R，而且r阻值减小时电流计偏转格数明显增大，可推知R的阻值明显大于20kΩ，因此

电源内阻完全可以忽略不计，与R相比，电流计内阻Rg与r的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：

E50??3.9I0 R50?RgE10??7.8I0 ③

2000010?Rg待测电阻R=120k?

解①、②、③三式，可得Rg=50Ω

①

E100??5.2I0 R100?Rg②

图14—10

例10 如图14—10所示，两个带正电的点电荷A、B带电量均为Q，固定放在x轴上的两处，离原点都等于r.若在原点O放另一正点

电荷P，其带电量为q，质量为m，限制P在哪些方向上运动时，它在原点O才是稳定的？

解析 设

y轴与x轴的夹角为?，正电点电荷P在原点沿

y轴方向有微小的位移s时，A、B两处的点电荷对P的库仑力分别为FA、

FB，方向如图14—10所示，P所受的库仑力在y轴上的分量为Fy?FAcos??FBcos? ①

根据库仑定律和余弦定理得FA?kqQr2?s2?2rscos? ②

FB?kqQr2?s2?2rscos? ③

cos??rcos??sr?s?2rscos?22 ④

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cos??

rcos??sr?s?2rscos?22 ⑤

将②、③、④、⑤式代入①得：

Fy?kqQ(rcos??s)(r2?s2?2rscos?)322?kqQ(rcos??s)(r2?s2?2rscos?)32

因为s很小，忽略s得：

Fy?kqQ[3rrcos??s2s(1?cos?)3r?2rcos??s]

2s(1?cos?)32r

又因为s?r,2scos??1 r

所以利用近似计算(1?x)?32?1?3x得 2kqQ3s3s[(rcos??s)(1?cos?)?(rcos??s)(1?cos?)]

rrr3kqQs22(3cos??1) 忽略s得Fy??3r122 当（3cos??1)?0时Fy具有恢复线性形式，所以在cos??范围内，P可围绕原点做微小振动，所以P在原点处是稳定的.

3 例11 某水池的实际深度为h，垂直于水面往下看， 水池底的视深为多少？（设水的折射率为n）

Fy? 解析 如图14—11所示，设S为水池底的点光源，

在由S点发出的光线中选取一条垂直于面MN的光线， 由O点垂直射出，由于观察者在S正方，所以另一条光 线与光线SO成极小的角度从点S射向水面点A，由点A 远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小， 进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点S′，该点

即为我们看到水池底光源S的像，像点S′到水面的距离h?，即为视深.

由几何关系有

tanr?AB/h?,tani?AO/h,所以

tarn/tain?h/h?，因为

r、

i均很小，则有

tanr?sinr,tani?sini，所以sinr/sini?h/h? 又因n?所以视深h?

sinrsini

?h/n

针对训练

1．活塞把密闭气缸分成左、右两个气室，每室各与U形管压强 计的一臂相连，压强计的两臂截面处处相同.U形管内盛有密度 为??7.5×102kg/m3的液体.开始时左、右两气室的体积都为

－

V0=1.2×102m3，气压都为?0?4.0×103Pa，且液体的液面处

在同一高度，如图14—12所示.现缓缓向左推动活塞，直到液体在

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U形管中的高度差h=40cm.求此时左、右气室的体积V1、V2.假 定两气室的温度保持不变.计算时可以不计U形管和连接管道中 气体的体积.取g=10m/s2.

2．一汽缸的初始体积为V0，其中盛有2mol的空气和少量的水（水的体积可忽略），其平衡 时气体的总压强是3.0大气压.经过等温膨胀使其体积加倍，在膨胀过程结束时，其中的 水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压.若让其继续作等温膨胀，使其体积再次加 倍，试计算此时： （1）汽缸中气体的温度； （2）汽缸中水蒸气的摩尔数；

（3）汽缸中气体的总压强. （假定空气和水蒸气均可当做理想气体处理） 3．1964年制成了世界上第一盏用海浪发电的航标灯，它的气 室示意图如图14—13所示.利用海浪上下起伏力量，空气 能被吸进来，压缩后再推入工作室，推动涡轮机带动发电 机发电.当海水下降时，阀门S1关闭，S2打开，设每次吸 入压强为1.0×106Pa、温度为7℃的空气0.233m3（空气可 视为理想气体），当海上升时，S2关闭，海水推动活塞 绝热压缩空气，空气压强达到

32×105Pa时，阀门S1才

图14—13

打开.S1打开后，活塞继续推动空气，直到气体全部推入工

作室为止，同时工作室的空气推动涡轮机工作.设打开S1后，活塞附近的压强近似保持不 变，活塞的质量及活塞筒壁间的摩擦忽略不计.问海水每次上升时所做的功是多少？已知 空气从压强为?1、体积为V1的状态绝热的改变到压强为?2、体积为V2的状态过程中， 近似遵循关系式?1/?2=（V2/V1）5/3，1mol理想气体温度升高1K时，内能改变为 3R/2.[R=8.31J/(mol·K)]

4．如图14—14所示，在Ox轴的坐标原点O处， 有一固定的电量为Q(Q?0)的点电荷，在x??L

图14—14

处，有一固定的、电量为?2Q的点电荷，今有一 正试探电荷q放在x轴上x 为正，引力为负.

?0的位置，并设斥力

（1）当q的位置限制在Ox轴上变化时，求q的受力平衡的位置，并讨论平衡的稳定性； （2）试定性地画出试探电荷q所受的合力F与q在Ox轴上的位置x的关系图线.

5．如图14—15所示，一人站在水面平静的湖岸边，观察到离岸边有一段距离的水下的一条 鱼，此人看到鱼的位置与鱼在水下的真实位置相比较，应处于什么方位.

6．如图14—16所示，天空中有一小鸟B，距水面高h1?3m，其正下方距水面深h2?4m处

的水中有一条小鱼A.已知水的折射率为4/3，则小鸟看水中的鱼距离自己是多远？小鱼看到鸟距离自己又是多远？

十一、图象法

1．A 2．A、D 3．C

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5．t1?t2 6．乙图中小球先到底端 7．

sn?1vB?2a(n?)n2=

1as(3?)n 8．13.64s 9．2:1 10．D

11．t?2sFGg(F?f)fvm?2gfs(F?f)

FG十二、类比法

RkQ(Q?q)kQ2aRkQ2aR22a?21．23LR/3Gt 2． 3．2222a(a?R2)2(a?R)4．CAB

?2.9?F 5．CAB?6?F ?5?15?1C （2）C总?C? （3）C??C 22 处放置一个”与“单色点光源”之间加

6．（1）C??L2(H?t)7．N?（注：将“两块半透镜移开一小段距离”后加“?L”.在“t?f?[H(t?f)?tf]“波长为?的”.） 8．（1）a?0.5?10?3m （2）d?4m

十三、降维法

1．0.288×103N≤F≤0.577×103N 2．(1)7.2N （2）0.8m/s2 3．5N沿斜面指向右上方水平方向的夹角为53 ° 4．RAB?R457R 6．r 5．RAB?（1）RAG?r （2）RAD?29612十四、近似法

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－

1．V1=0.8×102m3 ，V2=1.6×102m3 2．（1）373K （2）2mol （3）1.0大气压 3．8.15×104J 4．（1）平衡是稳定的 （2） 5．应在鱼的右上方 6．6m，8m