高中奥林匹克物理竞赛解题方法之十四近似法

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例1：一只狐狸以不变的速度?1沿着直线AB逃跑，一只猎犬以不变的速率?2追击，其运动方向始终对准狐狸.某时

刻狐狸在F处，猎犬在D处，FD⊥AB，且FD=L，如图14—1所示，求猎犬的加速度的大小.

解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度a

?2?2r,r为猎犬

所在处的曲率半径，因为r不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在D处的加速度大小，由于?2大小不变，如果求出D点的曲率半径，此时猎犬的加速度大小也就求得了.

猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的时间?t内，猎犬运动的轨迹可近似看做是

2?2一段圆弧，设其半径为R，则加速度a?R

其方向与速度方向垂直，如图14—1—甲所示.在?t时间内，设狐狸与猎犬分别 到达F?与D?，猎犬的

图14—2

速度方向转过的角度为???2?t/R

?t≈?L 因而?2?t/R≈?1?t/L，R=L?2/?1

而狐狸跑过的距离是：?1

2?2所以猎犬的加速度大小为a?=?1?2/L

R图14—2—甲

例2 如图14—2所示，岸高为h，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为?时，收绳速率为?，则该位置船的速率为多大？ 解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为设船在?角位置经?t时间向左行驶?x距离，滑轮右侧的绳长缩短?L，如图14—2—甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，

所求速率.

△ABC可近似看做是一直角三角形，因而有?L=?xcos?

两边同除以?t得：因此船的速率为?船?L?x?cos??t?t?，即收绳速率???船cos?

?cos?

图14—3

例3 如图14—3所示，半径为R，质量为m的圆形绳圈，以角速率?绕中心轴O在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？ 解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角??很小时，有近似关系式???sin??.

若取绳圈上很短的一小段绳AB=?L为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为??，这段绳两端所受的张力分别为TA和TB（方向见

图14—3—甲），因为绳圈匀速转动，无切向加速度，所以TA和TB的大小相等，均等于T. 速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为?m，根据牛顿第二定律有：2Tsin

因为?L段很短，它所对应的圆心角??很小所以sin将此近似关系和?mTA和TB在半径方向上的合力提供这一段绳做匀

????m?2R； 2????

?22

?R????mm???2?R2? 图—14—3—甲

m?2R代入上式得绳中的张力为T?

2?例4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点A处沿斜边轨道自静止出发自由

地滑到端点C处所需时间，恰好等于小球从顶点A处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点C处所需的时间.这里假设铅垂轨道AB与水平轨道BC的交接处B有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐弯，且拐弯时间可忽略不计.

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在此直角三角形范围内可构建一系列如图14—4中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上），轨道均从A点出发到C点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从A点滑行到C点所经时间的上限与下限之比值.

解析 直角三角形AB、BC、CA三边的长分别记为

l1、l2、l3，如图14—4—甲所示，小球从A到B的时间记为T1，再从B到C的时间为T2，而从A直接沿斜边到C所经历的时间记为T3，由题意知T1

由此能得T1与T2的关系.

?T2?T3，可得l1：l2：l3=3：4：5，

因为l1?1gT122l1?gT1T2

所以

l1T?1l22T2

2因为l1：l2=3：4，所以 T2?T1

3小球在图14—4—乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为t1

?T1，经各水平段所需时间之和记为t2，则从A到C

所经时间总和为t

?T1?t2，最短的t2对应t的下限tmin，最长的t2对应t的上限tmax.

5?T2?T1.

3小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即

与BC重合）时t2最短，其值即为T2，故tmin=T1

t2的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下降小量?l1，便接一段水平小量?l2，这两个小量

??l1cot?，角?即为∠ACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示

之间恒有?l2的微齿形轨道，由于?l1、?l2均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运动，分别所经的时间小量?t1(i)与?t2(i)之间有如下关联：

?t2(i)?l2??cot?

?t1(i)?l1

于是作为

?t2(i)之和的t2上限与作为?t1(i)之和的

T1之比也为

cot?.故t2的上限必为T1cot?，即得：

7tmax?T1?T1cot??T1.

3

这样tmax:tmin=7:5

例5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对

端点A、B固定在水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图14—5所示.如果小物体在此平面

上沿着垂直于A、B连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判 断它是否将做简谐运动？

解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分

析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）.

以AB中点为原点，过中点且垂直于AB的直线为

x轴，如图

14—5—甲所示，取

x轴正方向为正方向，小物体所受回复力为：

Fx??2k(l?l0)sin? ①

其中k为弹簧的劲度系数，l0为弹簧的自由长度，l为弹簧伸长后的长度，?为弹簧伸长后与AB直线的夹角.

由几何知识可得

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sin??x ② l ③

l?l02?x2

1?l01x2kx32将②、③代入①式得：Fx??2k[1?()]x??2k[1?(1?)]x??2222l0l0?x2l0

动.

由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运例6 三根长度均为2m，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC，C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆AB

是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图14—6所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.

解析 松鼠在AB轨道运动，当框架不动时，松鼠受到轨道给它的水平力F′作用，框架也受到松鼠给它的水平力F作用，设在某一时刻，松鼠离杆AB的中点O的距离为x，如图14—6所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力mg，m为松鼠的质量.以C点为轴，要使框架平衡，必须满足条件mgx?FLsin60??3FL，2

松鼠对AB杆的水平力为F?2mgx/(3L)，式中L为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受到的合力为零，在水

??2mgx/(3L)?kx

其中k平方向受到杆AB的作用力为F′，由牛顿第三定律可知F′=F，即F???2m3L

即松鼠在水平方向受到的作用力F′作用下的运动应是以O点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为

T?2? 动.

m?2?k3L/2g?2.64s.

当松鼠运动到杆AB的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于L/2=1m. 由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨AB上的运动是以AB的中点O为平衡位置，振幅不大于1m、周期为2.64s的简谐运

例7 在一个横截面面积为S的密闭容器中，有一个质量为m的活塞把容器中的气体分成两部分.活塞可在容器中

无摩擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是

p，体积分别是V1和V2，如图14—7所示.现用某种方法使活塞

稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.容器保持静止，整个系统可看做是恒温的. （1）求活塞运动的周期，将结果用

p、V1、V2、m和S表示；

（2）求气体温度t?0℃时的周期?与气体温度??=30℃时的周期??之比值. 解析 （1）活塞处于平衡时的位置O为坐标原点x?0.当活塞运动到右边距O点x处时，左边气体的体积由V1变为V1+Sx，右边

气体的体积由V2变为V2?

Sx，设此时两边气体的压强分别为p1和p2，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：

p1(V1?Sx)?pV1而以上两式解出：

p2(V2?Sx)?pV2

pV1pV2,p2? ① SxSxV1(1?)2V2(1?)V1V2

p1? 按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为：

p1?p(1?SSx), p2?p(1?x)，于是活塞受的合力为V1V2(p1?p2)S??pS2(V?V21111?)x.所以活塞的运动方程是ma??pS2(?)x??pS21x V1V2V1V2V1V2高中奥林匹克物理竞赛解题方法之十四近似法Page4

其中a是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为??2?mV1V2pS2(V1?V2)

（2）设温度为t时，周期为?，温度为t?时，周期为??.由于

pp??，得出 TT?

???2?mV1V2?2?2?pS(V1?V2)mV1V2pS2(V1?V2)?TT???T T?所以

??T??T?，将数值代入得??:??0.95

例8 如图14—8所示，在边长为a的正三角形三个顶点A、B、C处分别固定电量为Q的正点电荷，在其中三条中

线的交点O上放置一个质量为m，电量为q的带正电质点，O点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求其振动周期.

解析 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所受的回复力是否与它的位移大小

成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表达式.

以O为坐标原点，以AOD中线为坐标x轴，如图14—8—甲所示，设带电质点在该轴上偏移x，A处Q对其作用力为F1，B、C处

两个Q对其作用的合力为F2，取x轴方向为正方向. 有F1??kQqkQqx?2??(1?)

r(r?x)2r2因为r?OA?OB?OC?3a 3x2xQq6x(1?)?2?1???当x很小时可忽略高次项所以F1??3k2(1?)

rra3aF2?2(kQqa()2?(h?x)22?h?xa()2?(h?x)23?a)?2kQq(h?x)[()2?(h?x)2]2

2232??a2a322?2kQq(h?x)(?h?2hx)?2kQq(h?x)(?ax)2

4333a2?23?2h?x33?2kQq(h?x)()(1?x)?63kQq3(1?x)

3a2aa?63kQq33Qq33xQq32x(h?hx?x)?63kh(1?x?)?3k(1?x) （略去项） 3332a2ah2aaaa33因此带电质点所受合力为Fx?F1?F2??3kQ6x393Qq(?x)??k3qx 22aa3a2a由此可知，合外力

Fx与

x大小成正比，方向相反.即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为

图14—9