专题16 坐标系与参数方程(专题)-高考数学(理)考纲解读与热点难点突破 Word版含解析

|AB|?|?1??2|?(?1??2)2?4?1?2?144cos2??44,

315cos2??,tan???83， 由|AB|?10得

1515?3. 所以的斜率为3或

【变式探究】 (·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C1，C2的极坐标方程；

π

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

??x＝2cos α，

【变式探究】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为?(α为参数)，M是C1

?y＝2＋2sin α?

→→

上的动点，P点满足OP＝2OM，点P的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程；

π

(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB.

?xy?【解析】(1)设P(x，y)，则由条件知M2，2，由于M点在C1??

?2＝2cos α，

上，所以?y

?2＝2＋2sin α，

x

即

??x＝4cos α，? ?y＝4＋4sin α.?

??x＝4cos α，从而C2的参数方程为?(α为参数)．

?y＝4＋4sin α?

π

(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝3与C1的交点

πππ

A的极径为ρ1＝4sin3，射线θ＝3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin3.所以AB＝|ρ2－ρ1|＝23. 【规律方法】解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标．要注意题目所给的限制条件及隐含条件．

【变式探究】(·辽宁，23)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出C的参数方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为C上点(x，y)，

?x?x1,?y?2y,

依题意，得?由

2

x21＋y1＝1

得x2＋

?y?＝1，

?2?

y2

4＝1.

2

即曲线C的方程为x2＋

?x?cost?y?2sint(t为参数)．

故C的参数方程为??2y2?1,?x??x?1,?x?0,4????2x?y?2?0y?2. y?0??(2)由解得：或?1?1?不妨设P1 (1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为2，1，所求直线斜率为k＝2，于是所??1?1?求直线方程为y－1＝2x－2，

??

化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3

即ρ＝.

4sin θ－2cos θ题型三 参数方程及其应用

【例3】 【高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

?x?acost?y?1?asint（t为参数,a＞0）

在直角坐标系x?y中,曲线C1的参数方程为?．

在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=4cos?. （I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为求a．

???0,其中?0满足tan?0=2,若曲线C与C的公共点都在C上,

123

22【答案】（I）圆,??2?sin??1?a?0（II）1

222x?(y?1)?aC1【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.

C1是以(0,1)为圆心，为半径的圆.

将x??cos?,y??sin?代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为

?2?2?sin??1?a2?0.

【举一反三】(·重庆，15)已知直线l的参数方程为??x??1?t, (t为参数)，以坐标原点为极点，

?y?1?tρ2cos 2θ＝4

x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为直线l与曲线C的交点的极坐标为________．

?ρ＞0，3π＜θ＜5π?，

44?则?

解析 直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)． 答案 (2，π)

??x＝a－2t，

【变式探究】(·福建)已知直线l的参数方程为?(t为参数)，圆C的参数方程为

?y＝－4t???x＝4cos θ，

? ?y＝4sin θ?

(θ为参数)．

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．

【命题意图】本小题主要考查直线与圆的参数方程等基础知识，意在考查考生的运算求解能力及化归与转化思想．

【解题思路】(1)消去参数，即可求出直线l与圆C的普通方程．

(2)求出圆心的坐标，利用圆心到直线l的距离不大于半径，得到关于参数a的不等式，即可求出参数a的取值范围．

【感悟提升】

1．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．

2．在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．

?x?1?3cost,?y??2?3sint (t

【变式探究】(·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为?为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴

?π?非负半轴为极轴)中，直线l的方程为2ρsinθ－4＝m(m∈R)．

??

①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程； ②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．

解 ①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.

?π?由2ρsinθ－4＝m，得

?

?

ρsin θ－ρcos θ－m＝0.

所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0. ②依题意，圆心C到直线l的距离等于2， 即

|1－（－2）＋m|

＝2，

2