当前位置：首页 > 专题16 坐标系与参数方程（专题）-高考数学（理）考纲解读与热点难点突破 Word版含解析
专题16 坐标系与参数方程
【高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有： (1)直线、曲线的极坐标方程； (2)直线、曲线的参数方程； (3)参数方程与普通方程的互化；
(4)极坐标与直角坐标的互化 ，本内容的考查要求为B级. 【重点、难点剖析】 1．直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设
??x＝ρcos θ，
M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则?
??y＝ρsin θ，
ρ2＝x2＋y2，??
? ytan θ＝x≠0.?x?
2．直线的极坐标方程
若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝α；
(2)直线过点M(a,0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
?π?(3)直线过Mb，2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
?
?
3．圆的极坐标方程
若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； (2)当圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；
?π?(3)当圆心位于Mr，2，半径为r：ρ＝2rsin θ.
?
?
??x＝x0＋rcos θ，
(4)圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数，0≤θ≤2π)．圆心
?y＝y＋rsin θ?0
在点A(ρ0，θ0)，半径为r的圆的方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直线的参数方程
??x＝x0＋tcos α，
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为?(t为参数)．
?y＝y＋tsin α?0
→
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段P0P的数量． 5．圆的参数方程
?x＝x0＋rcos θ，?
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为?(θ为参数，0≤θ≤2π)．
?y＝y＋rsin θ?0
6．圆锥曲线的参数方程
??x＝acos θ，x2y2
(1)椭圆a2＋b2＝1的参数方程为?(θ为参数)．
?y＝bsin θ???x＝asec θ，x2y2
(2)双曲线a2－b2＝1的参数方程为?(θ为参数)．
?y＝btan θ?
2??x＝2pt，
(3)抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为?(t为参数).
?y＝2pt?
【题型示例】
题型一 极坐标方程和参数方程
【例1】【高考北京理数】在极坐标系中，直线A，B两点，则|AB|?______. 【答案】2
22x?3y?1?0(x?1)?y?1的圆心，因此AB?2. 【解析】直线过圆
?cos??3?sin??1?0与圆??2cos?交于
?π?【举一反三】 (·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsinθ－4＝2，点A的极坐标为
?
?
7π??A22，4，则点A到直线l的距离为________．
??
7π??π??解析 依题已知直线l：2ρsinθ－4＝2和点A22，4可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，
????
|2－（－2）＋1|52
所以点A到直线l的距离为d＝＝2.
12＋（－1）2答案
522
?π?【变式探究】(·北京，11)在极坐标系中，点2，3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．
?
?
?π?解析 在平面直角坐标系下，点2，3化为(1，3)，直线方程为：x＋3y＝6，∴点(1，3)
?
?
|1＋3×3－6||－2|
到直线的距离为d＝＝2＝1. 2答案 1
π【举一反三】(·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝3(ρ∈R)距离的最大值是________．
【变式探究】(·辽宁)将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．
【命题意图】本题主要考查参数方程与普通方程、极坐标方程与普通方程间的转化．结合方程的转化和应用考查考生的应用意识和转化思想． 【思路方法】(1)先列方程，再进一步转化为参数方程． (2)解出交点，再求得直线方程，最后转化为极坐标方程．
【解析】(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
?x＝x1，?? ??y＝2y1.
y2＝1，得x2＋??2＝1， 由x2＋y11
?2?即曲线C的方程为
x2＋
y2
4＝1.
?x＝cos t，?
故C的参数方程为?(t为参数)．
??y＝2sin t
【感悟提升】若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．
题型二 极坐标方程与直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化 【例2】【高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程
22xOy(x?6)?y?25． C在直角坐标系中，圆的方程为
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
?x?tcos??y?tsin?（为参数）,与C交于A,B两点，|AB|?10，求的斜
（Ⅱ）直线的参数方程是?率．
【答案】（Ⅰ）??12?cos??11?0；（Ⅱ）
2?
153.
2x??cos?,y??sin???12?cos??11?0. C【解析】（I）由可得的极坐标方程
（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为???(??R) 由A,B所对应的极径分别为
?1,?2,将的极坐标方程代入C的极坐标方程得
?2?12?cos??11?0.
于是
?1??2??12cos?,?1?2?11,
本文作者：...共分享92篇相关文档
