[师说]2015高考数学（理）一轮复习课后练习：7.3 合情推理与演绎推理

7．3 合情推理与演绎推理

一、选择题

1．给出下列三个类比结论．

①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；

②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ； ③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2. 其中结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：B

2．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是( )

(1) (2) (3) (4)

(A) (B)

A．B*D，A*D B．B*D，A*C C．B*C，A*D D．C*D，A*D 答案：B

3．在数列{an}中，若存在非零整数T，使得am＋T＝am对于任意的正整数m均成立，那么称数列{an}为周期数列，其中T叫做数列{an}的周期．若数列{xn}满足xn＋1＝|xn－xn－1|(n≥2，n∈N)，且x1＝1，x2＝a(a≤1，a≠0)，当数列{xn}的正周期最小时，该数列的前2009项的和是( )

A．669 B．670 C．1339 D．1340 答案：D

4．规定一机器狗每秒钟只能前进或后退一步，现程序设计师让机器狗以“前进3步，然后再退2步”的规律移动．如果将此机器狗放在数轴原点，面向正方向，以1步的距离为1个单位长度移动，令P(n)表示第n秒时机器狗所在的位置坐标，且P(0)＝0，则下列结论中错误的是( )

A．P(2007)＝403 B．P(2008)＝404 C．P(2009)＝403 D．P(2010)＝404 答案：D

5．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和?，各元素间运算结果如下：

a b c d ⊕ a a b c d b b b b b c c b c b d d b b d

? a b c d a a a a a b a b c d c a c c a d a b a d

那么d?(a⊕c)＝( ) A．a B．b C．c D．d 答案：A

6．下列推理是归纳推理的是( )

A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a＞|AB|，则P点的轨迹为椭圆

B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式

x2y22222

C．由圆x＋y＝r的面积πr，猜想出椭圆2＋2＝1的面积S＝πab

ab

D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案：B 二、填空题

7．在如下数表中，已知每行、每列中的数都是成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n＋1列的数是__________. 第1列 第2列 第3列 ? 1 2 3 第1行 ? 2 4 6 第2行 ? 3 6 9 第3行 ? ? ? ? ? 答案：n2＋n

xxx

8．已知函数f(x)＝(x＞0)．观察下列计算：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f[f1(x)]＝，

x＋2x＋23x＋4xx

f3(x)＝f[f2(x)]＝，f4(x)＝f[f3(x)]＝，?，根据以上事实，由归纳推理可得：当n

7x＋815x＋16

∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝__________.

x

解析：依题意得，f1(x)＝，

x＋2

xx＋2xx

f2(x)＝＝＝2，

x3x＋4?2－1?x＋22＋2x＋2

x3x＋4xx

f3(x)＝＝＝3，

x7x＋8?2－1?x＋23＋23x＋4

x7x＋8xxx

f4(x)＝＝＝4(x＞0)． 4，?，由此归纳可得fn(x)＝nx15x＋16?2－1?x＋2?2－1?x＋2n＋27x＋8

x

答案：n(x＞0)

?2－1?x＋2n9．观察下列等式： (x2＋x＋1)0＝1；

(x2＋x＋1)1＝x2＋x＋1；

(x2＋x＋1)2＝x4＋2x3＋3x2＋2x＋1；

a22.

(x2＋x＋1)3＝x6＋3x2＋6x4＋7x3＋6x2＋3x＋1；

可以推测(x2＋x＋1)4的展开式中，系数最大的项是__________． 答案：19x4 三、解答题

10．先阅读下面结论的证明，再解决后面的问题：

21已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a2＋a12≥. 2

222

证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a21＋a2＝2x－2x＋a1＋1222因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a21＋a2)≤0，从而a1＋a2≥. 2

(1)若a1，a2，a3，?，an∈R，a1＋a2＋?＋an＝1，试写出上述结论的推广式； (2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．

122

解析：(1)若a1，a2，a3，?，an∈R，a1＋a2＋?＋an＝1，求证：a21＋a2＋?＋an≥. n

222

(2)证明：构造函数f(x)＝(x－a1)＋(x－a2)＋?＋(x－an)

22

＝nx2－2(a1＋a2＋?＋an)x＋a21＋a2＋?＋an

22

＝nx2－2x＋a21＋a2＋?＋an， ∵对一切x∈R恒有f(x)≥0.

22

∴Δ＝4－4n(a21＋a2＋?＋an)≤0，

122

a21＋a2＋?＋an≥. n

11．已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，且当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与

x2y2

点P的位置无关的定值．试对双曲线2－2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

ab

x2y2

解析：类似的性质为：若M、N是双曲线2－2＝1上关于原点对称的两个点，点P是

ab

双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．

证明如下：

设点M、P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，则N(－m，－n)． 因为点M(m，n)在已知双曲线上，

22b所以n＝2m2－b2. a22b2

同理y＝2x－b2.

a

y－ny＋ny2－n2

则kPM·kPN＝·＝

x－mx＋mx2－m222

b2x－mb2＝2·2＝(定值)． ax－m2a2111

12．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：2＝2＋2，那么在四面ADABAC

体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．

图① 解析：如图①所示，由△ABD∽△CAD及射影定理知AD2＝BD·DC， 22AB＝BD·BC，AC＝BC·DC，

11∴2＝ ADBD·DC

BC2

＝ BD·BC·DC·BCBC2＝2. AB·AC2又BC2＝AB2＋AC2，

AB2＋AC2111

∴2＝. 22＝2＋ADAB·ACABAC2111∴2＝2＋2. ADABAC

类比AB⊥AC，AD⊥BC，猜想：

四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，

1111

AE⊥平面BCD，则2＝2＋2＋2. AEABACAD

图② 证明：如图②，连接BE并延长交CD于点F，连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF?平面ACD， ∴AB⊥AF.

在Rt△ABF中，AE⊥BF，

111∴2＝2＋2. AEABAF

在Rt△ACD中，AF⊥CD，

111∴2＝2＋2. AFACAD1111∴2＝2＋2＋2. AEABACAD