关于高等数学等价无穷小替换极限的计算

讲义

【教学目的】

无穷小 极限的简单计算

1、理解无穷小与无穷大的概念；

2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；

3、不同类型的未定式的不同解法。

【教学内容】

1、无穷小与无穷大；

2、无穷小的比较；

3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换；

4、求极限的方法。

【重点难点】

重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。

难点是未定式的极限的求法。

【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

一、无穷小与无穷大

1.定义

前面我们研究了n??数列xn的极限、x??（x???、x???）函数f?x?的极限、

x?x0（x?x0、x?x0）函数f(x)的极限这七种趋近方式。下面我们用 x?＊表示上述七种的某一种趋近方式，即

??＊?n??x??x???x???x?x0?x?x0??x?x0

?定义：当在给定的x?＊下，f(x)以零为极限，则称f(x)是x?＊下的无穷小，即

limf?x??0。

x?＊例如, ?limsinx?0, ?函数sinx是当x?0时的无穷小.

x?0【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。

定义： 当在给定的x?＊下，f?x?无限增大，则称f?x?是x?＊下的无穷大，即

?都是无穷大量， limf?x???。显然，n??时，n、n2、n3、x?＊【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷

大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 limex?0， limex??? ，

x???x???所以ex当x???时为无穷小，当x??? 时为无穷大。

2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果f?x?为无穷大，

则

11为无穷小；反之，如果f?x?为无穷小，且f?x??0，则为无穷大。 f?x?f?x?小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。

3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 limf(x)=A?f(x)x?x0xA+?(x),其中?(x)是自变量在同一变化过程x?x0（或x??）中的无穷小.

证：（必要性）设limf(x)=A,令?(x)=f(x)-A,则有lim?(x)=0,

x?x0x?x0（充分性）设f(x)=A+?(x),其中?(x)是当x?x0时的无穷小，则

【意义】

（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);

（2）给出了函数f(x)在x0附近的近似表达式f(x)?A,误差为?(x).

3.无穷小的运算性质

定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.

【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.

定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

111?0，limxsin?0，limsinx?0 x?0x??xnx如：lim(?1)nn??推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较

1观察各极限： 都是无穷小，x例如，当x?0时,x,x2,sinx,x2sinx2sinlimx?01x?limsin1不存在.不可比.

x?0xx2极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.

1．定义: 设?,?是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且?10.

例1 证明:当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小.

4xtan3xtanx3?4lim()?4,故当x?0时,4xtan3x为x的四阶无穷小. 证：lim4x?0x?0xx