（人教版）2020届高考数学一轮复习 第五章 平面向量、复数 课时跟踪训练29 复数 文

课时跟踪训练(二十九) 复数

[基础巩固]

一、选择题

1．(2017·北京卷)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )

A．(－∞，1) C．(1，＋∞)

B．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)

[解析] 因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋

??a＋1<0，

1,1－a)，又此点在第二象限，所以?

?1－a>0，?

解得a<－1，故选B.

[答案] B

2．(2017·山东卷)已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z＝( ) A．－2i C．－2

[解析] ∵zi＝1＋i，∴z＝[答案] A

3．(2017·兰州市高考实战模拟)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为( )

A.

2－1

2

B.2－1

2＋1

2

2＋i

＝1－i

B．2i D．2

1＋i1222

＝＋1＝1－i.∴z＝(1－i)＝1＋i－2i＝－2i.选A. ii

2

C．1 D.

[解析] ∵|1－i|＝2，∴z(1－i)＝|1－i|＋i＝2＋i，∴z＝2＋i

1－i

1＋i

＝

1＋i

2－1＋

2

2＋1i2－1

，∴z的实部为，故选A.

2

[答案] A

4．(2017·石家庄市高三二检)在复平面内，复数A．第一象限 C．第三象限 [解析] 因为

11＋i

2

11＋i

2

＋i对应的点在( ) ＋1

4

B．第二象限 D．第四象限

11－2i624

＋i＝＋1＝＋1＝－i，所以其＋11＋2i1＋2i1－2i55

1

2??6

在复平面内对应的点为?，－?，位于第四象限，故选D.

5??5

[答案] D

5．(2017·云南省高三11校联考)已知复数z满足z(1－i)＝2i，则z的模为( ) A．1 C.3

2i

[解析] 解法一：依题意得z＝＝

1－i－1＋i|＝

－1

2

B.2 D．2

2i1＋i

＝i(1＋i)＝－1＋i，|z|＝|

1－i1＋i

＋1＝2，选B.

2

2i|2i|2

解法二：依题意得2＝，∴|z|＝＝＝2，选B.

1－i|1－i|2[答案] B

6．(2018·安徽安师大附中测试)已知复数z＝|(3－i)i|－i(i为虚数单位)，则复数z的共轭复数为( )

A．2－i C．4－i

B．2＋i D．4＋i

－

[解析] 由已知得z＝|1＋3i|－i＝2－i，所以z＝2＋i，故选B. [答案] B

i－1＋4

7．(2017·广西桂林市、百色市、崇左市联考)复数z＝的虚部为( )

i＋1A．－1 C．1

i－1＋44－2i4－2i

[解析] z＝＝＝

i＋1i＋11＋i[答案] B

8．(2017·长春市高三第二次监测)已知复数z＝1＋i，则下列命题中正确的个数是( )

－

①|z|＝2；②z＝1－i；③z的虚部为i；④z在复平面内对应的点位于第一象限． A．1 C．3

2

22

25

B．－3 D．2

1－i

＝1－3i，故选B.

1－i

B．2 D．4

[解析] |z|＝1＋1＝2，①正确；由共轭复数的定义知，②正确；对于复数z＝a＋bi(a∈R，b∈R)，a与b分别为复数z的实部与虚部，故z＝1＋i的虚部为1，而不是i，③错误；z＝1＋i在复平面内对应的点为(1,1)，在第一象限，④正确．故正确命题的个数

2

为3，选C.

[答案] C 二、填空题

a－i

9．(2017·天津卷)已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为________．

2＋ia－ia－i2－i2a－12＋a2＋a[解析] 由＝＝－i是实数，得－＝0，所以a＝

2＋i5555

－2.

[答案] －2

10．(2017·江苏卷)已知复数z＝(1＋i)(1＋2i)，其中i是虚数单位，则z的模是________．

[解析] 解法一：复数z＝1＋2i＋i－2＝－1＋3i，则|z|＝解法二：|z|＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. [答案]

10

2

2

2

－1

2

＋3＝10.

2

11．(2017·浙江卷)已知a，b∈R，(a＋bi)＝3＋4i(i是虚数单位)，则a＋b＝________，ab＝________.

[解析] ∵(a＋bi)＝a－b??a＝－2，

?

?b＝－1，?

2

2

2

??a－b＝3，

＋2abi＝3＋4i，∴?

??2ab＝4，

22

??a＝2，

∴???b＝1

或

∴a＋b＝5，ab＝2.

22

[答案] 5 2

[能力提升]

12．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2 B．若z1＝z2，则z1＝z2

C．若|z1|＝|z2|，则z2·z1＝z1·z2 D．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2

[解析] 依据复数概念和运算，逐一进行推理判断．对于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?z1

2

2

＝z2，是真命题；对于B，C易判断是真命题；对于D，若z1＝2，z2＝1＋3i，则|z1|＝

2

2

|z2|，但z1＝4，z2＝－2＋23i，是假命题．

[答案] D

13．已知复数z满足|z|－z＝2－4i，则z＝( )

3

A．3＋4i C．－3＋4i

B．3－4i D．－3－4i

2

2

[解析] 解法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则x＋y－(x－yi)＝2－4i，所以

?x2＋y2－x＝2，?

?y＝－4，

??x＝3，解得?

?y＝－4，?

因而z＝3－4i，故选B.

解法二：观察可知，四个选项中的复数的模均为5，代入|z|－z＝2－4i得，z＝3＋4i，故z＝3－4i，故选B.

[答案] B

14．若复数1＋3i与复数－3＋i在复平面内对应的点分别为A、B，O为坐标原点，则∠AOB等于( )

A.C.π

6π 3

B.D.π 4π 2

→

→→

→

[解析] 由题意知，A(1，3)、B(－3，1)，所以OA＝(1，3)、OB＝(－3，1)，π

则OA·OB＝1×(－3)＋3×1＝0，故∠AOB＝. 2

[答案] D

43

15．(2018·长安一中一检)已知z1＝sinθ－i，z2＝－cosθi.若z1－z2是纯虚数，

55则tanθ＝( )

3

A. 44C. 3

3B．－ 44D．－ 3

4?433?

[解析] z1－z2＝sinθ－i－＋cosθi＝sinθ－＋?cosθ－?i，因为z1－z2是纯虚

5?555?3

sinθ－＝0，??5

数，所以?4

cosθ－≠0，??53

－，选B. 4

[答案] B

16．复数z满足(3－4i)z＝5＋10i，则|z|＝__________.

4

3

sinθ＝，??5所以?4

cosθ≠，??5

4

故cosθ＝－，所以tanθ＝＝54

－5

35

[解析] 由(3－4i)z＝5＋10i知，|3－4i|·|z|＝|5＋10i|，即5|z|＝55，解得|z|＝5.

[答案]

5

2

17．(2015·江苏卷)设复数z满足z＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为__________． [解析] 设复数z＝a＋bi，a，b∈R，则z＝a－b＋2abi＝3＋4i，a，b∈R，则

?a－b＝3，????2ab＝4，

2

2

2

2

2

?a＝2，?

a，b∈R，解得?

??b＝1，

或?

?a＝－2，?

??b＝－1，

2

则z＝±(2＋i)，故|z|＝5.

[答案] 5

2

18．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)为纯虚数的概率为__________．

[解析] 投掷两颗骰子共有36种结果．因为(m＋ni)＝m－n＋2mni，所以要使复数(m＋ni)为纯虚数，则有m－n＝0，故m＝n，共有6种结果，所以复数(m＋ni)为纯虚数的61

概率为＝. 366

1

[答案]

6

2

2

2

2

2

2

5