离散数学结构试题集

如果是一个函数,找出其定义域和值域,并确定它是不是入射的或满射的。

(1){<1,x>,<2,x>,<3,z>,<4,y>};

(2){<1,z>,<2,x>,<3,y>,<4,z>,<2,w>}; (3){<1,z>,<2,w>,<3,x>,<4,y>}; (4){<1,w>,<2,w>,<4,x>} (5){<1,y>,<2,y>,<3,y>,<4,y>}。

4. 设集合A={1,2,3}, f、g是集合A到A的函数，f={<1,2>,<2,3>,<3,1>}，g={<1,2>,<2,1>, <3,3>}, 计算f °g，g °f。

5. 设集合A={1,2,3},B={a,b}, f:A->B, 且f={<1,a>,<2,b>,<3,b>}，试判断f是不是一个函 数?如果是函数，是否存在逆函数？

五.证明题

1. 令g οf 是一个复合函数。若g 和 f 是满射，则g οf是满射的。

2. 设f °g是复合函数，证明：如果f °g是满射的，那么f是满射的。

3. 设f °g是复合函数，证明：如果f °g是入射的，那么g是入射的。

4. 设f °g是复合函数，证明：如果f °g是双射的，那么f是满射的而g是入射的。

5. 令g °f 是一个复合函数。若g 和 f 是入射的，则g°f是入射的。

第5章

一.填空题

1. 群中有唯一的（ ）。

2. 如果群运算是可交换的，则群为（ ）。

3. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y?A，则称

二元运算*在A上是（ ）。

4. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y*x，则称

二元运算*在A上是（ ）。

5. 设★是定义在有理数集合Q上的二元运算，如果对于Q中任意的两个元素x,y，都有x★y=x

+y-x*y，其中*表示普通乘法元算，则二元运算★在Q上是（ ）。（填写可交 互/不可交换）

6. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y)*z=x*(y*z) ，则称二元运算*在A上是（ ）。

7. 设★是定义在非空集合A上的二元运算，如果对于A中任意的两个元素x,y，都有x*y=y， 则二元运算★在A上是（ ）。（填写可结合/不可结合）

8. 设*，★是定义在集合A上的两个二元运算，如果对于A中任意的元素x,y,z，都有(x*y) ★z=（x★z）*(y★z)，z★(x*y)=(z★x)*(z★y),则称二元运算★对于*在A上是（ ）。

9. 设*，★是定义在集合A上的两个可交换的二元运算，如果对于A中任意的元素x,y，都有x

*(x★y)=x, x★(x*y)=x,则称二元运算*对于★在A上满足（ ）。

10. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果对于A中任意的元素x，都有x*x=x，则称二元运算

*是（ ）。

11. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素el，对于A中任意的元素x，都有el

*x=x，则称el为A中关于运算*的（ ）。

12. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素ol，对于A中任意的元素x，都有ol

*x=x，则称ol为A中关于运算*的（ ）。

13. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素er，对于A中任意的元素x，都有x*

erl =x，则称er为A中关于运算*的（ ）。

14. 设*是定义在集合A上的二元运算，如果在A中存在元素or，对于A中任意的元素x，都有x*

or=x，则称or为A中关于运算*的（ ）。

15. 如果对于集合中的二元运算*，存在左零元和右零元，且左零元等于右零元，则零元是（

）。

16. 如果对于集合中的二元运算*，存在左么元和右么元，且左么元等于右么元，则么元是（

）。

17. 设*是定义在集合A上的二元运算，且e是A中关于运算*的么元，如果对于A中的元素x，存

在A中的元素y，有y*x=e，则称y为x的（ ）。

18. 对于实数域上的乘法元算，每个元素（ ）逆元。（填写一定有/不一定有 ）

19. 对于实数域上的加法运算，（ ）零元。（填写存在/不存在）

20. 对于整数域上的加法运算，（ ）么元。（填写存在/不存在）

21. 对于非空集合S上二元运算*，是封闭且可结合的，那么叫做（ ）。

22. 正整数上的加法运算（ ）半群。（填写是/不是）

23. 实数域上的除法运算（ ）半群。（填写是/不是）

24. 整数域上的加法运算（ ）群。（填写是/不是）

25. .如果群的运算满足交换率，则这个群叫（ ）。

26. 循环群（ ）生成元。(填写必有/不一定有)

27. 设f是由到的一个同态，如果f( ),则称f为满同态的 。

28. 设f是由到的一个同态，如果f( ),则称f为同构的。

29. 设f是群到的一个同态映射，如果e’是B中的么元，Ker(f)=( )，则称Ker(f)为同态映射f的核。

30. 设R是代数系统上的一个等价关系，如果当,?R时，蕴含着?R，则称R为A上关于★的（ ）。

二.选择题

1. 下面那个性质不是群必有的？（ ） A)运算的封闭性 B)幺元 C)零元 D)运算的交换性

2. 设集合A={1,2,?,10},下面定义的那个二元运算*关于A不封闭？（ ） A)x*y=max(x,y) B)x*y=质数p的个数，使得x<=p<=y

C)x*y=min(x,y) D)x*y=((x+y)mod 10)+1

3. 是一个半群，如果S是一个有限集，则必有（ ） A)幺元 B)零元 C)等幂元 D)不确定

4. 下面那个代数系统表示的范围最大？（ ） A)群 B)半群 C)阿贝尔群 D)独异点

5. 同构关系必然是一个（ ） A）等价关系 B)偏序关系 C)同余关系 D)同态关系

6. 在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ ）

8. 设是群，a,b?G,则下列结论不正确的是（ ） A．(a*b)-1=b-1*a-1 B．a*x=b有唯一解

C．a*x=a*y,则x=y D．a*b=b*a

A) a*b=a-b B) a*b=max{a,b} C) a*b=a+2b D) a*b=|a-b|

7. 同构关系必然是一个（ ）

A．等价关系 B.偏序关系 C.同余关系 D.相容关系

9. 下面那个运算不满足运算的封闭性？（ ） A）自然数上的加法 B）有理数上的乘法 C）1到10之间的模11加法 D）0到9之 间的模10加法

10. 下面那个不满足结合律？（ ） A)自然数上的加法 B）有理数上的乘法 C）自然数上的max(a,b) D)自然数上的减法

11. 对于代数系统，Nk ={0,1,?,k-1}，+k是定义在Nk上的模k加法，下面说法不对 的是：（ ） A）有零元 B)有么元 C)每个元素都有逆元 D）是半群

12. 下面关于半群的说法正确的是（ ） A）必有零元 B）必有么元 C）必然服从交换律 D)必然服从结合律

13. 若果为半群，且S是有限集合，则以下说法正确的是（ ）

A)必有a?S,且a*a=a B) 必有a?S,且a*b=b C)必有零元 D）必有零元

14. 关于独异点，下列说法正确的是（ ）

A)必有零元 B)必有等幂元 C）必有么元 D)必然满足交换律

15. 以下说法不正确的是（ ）

A)群表示范围比半群小 B)交换群表示范围比半群小 C)阿贝尔群表示范围比群小 D）广群表示的范围比半群小

16. 下面关于群的说法不正确的是（ ） A）必有零元 B）必有么元 C）每个必然有逆元 D)必然服从结合律