505-2018届上海市虹口区高三下学期教学质量监控(二模)数学试题word文档可编辑含解析

一. 填空题（小题解析）

1. 已知A?(??,a]，B?[1,2]，且A【解析】画数轴，a?1

2. 直线ax?(a?1)y?1?0与直线4x?ay?2?0互相平行，则实数a? 【解析】由a2?4(a?1)?0?a?2 3. 已知??(0,?)，cos???，则tan(??【解析】tan???，∴tan(??B??，则实数a的范围是

35?4)?

43?1)?? 474. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为?、?、?，则

cos2??cos2??cos2??

【解析】设三边为a、b、c，对角线为d，∴a2?b2?c2?d2

a2?b2b2?c2c2?a222222cos??cos??cos??，，，∴cos??cos??cos??2

d2d2d22也可取正方体的特殊情况去求

??x2x?05. 已知函数f(x)???x，则f?1[f?1(?9)]?

?2?1x?0???x,x?0【解析】f(x)??，f?1(?9)?3，f?1[f?1(?9)]?f?1(3)??2

???log2(x?1),x?0?16. 从集合{?1,1,2,3}随机取一个为m，从集合{?2,?1,1,2}随机取一个为n，则方程

x2y2??1表示双曲线的概率为 mn3?2?1?21? 【解析】

4?427. 已知数列{an}是公比为q的等比数列，且a2、a4、a3成等差数列，则q? 【解析】a2?a3?2a4?2q2?q?1?0，∴q?1或q??1 28. 若将函数f(x)?x6表示成f(x)?a0?a1(x?1)?a2(x?1)2?a3(x?1)3?????a6(x?1)6，则a3的值等于

3【解析】x6?[(x?1)?1]6，a3?C6?20

9. 如图，长方体ABCD?A1B1C1D1的边长AB?AA1?1，

AD?2，它的外接球是球O，则A、A1这两点的球面

距离等于

【解析】外接球半径为1，???3，球面距离为

? 3mn 210. 椭圆的长轴长等于m，短轴长等于n，则此椭圆的内接矩形的面积的最大值为 【解析】根据本公众号“上海初高中数学”2018年3月28日推文中的性质，最大值为

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7x1?[2]??0满足x?1的所有实数解是 4411x2x2【解析】当0?x?1，[2x]?1，∴(2)?2?x?；当x?0，[2x]?0，(2)?，

24∴x??1，∴满足条件的所有实数解为x?0.5或x??1

x211. [x]是不超过x的最大整数，则方程(2)?12. 函数f(x)?sinx，对于x1?x2?x3?????xn且x1,x2,???,xn?[0,8?]（n?10），记

M?|f(x1)?f(x2)|?|f(x2)?f(x3)|?|f(x3)?f(x4)|?????|f(xn?1)?f(xn)|，则M

的最大值等于

【解析】在[0,8?]有4个周期，最大值为4?4?16

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数是奇函数的是（ ）

A. f(x)?x?1 B. f(x)?sinx?cosx C. f(x)?arccosx D. f(x)??【解析】由f(?x)??f(x)，选B

14. 在Rt?ABC中，AB?AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运 动且满足PC?k?BC，当PM?PN取得最小值时，实数k的值为（ ） A.

?xx?0

?xx?0?1111 B. C. D. 24389时取到4【解析】建系，设P(x,3?x)，M(1,0)，N(2,0)，PM?PN?2x2?9x?11，x?[0,3]，∴x?最小值，此时k?PC1?，选C BC415. 直线l:kx?y?k?1?0与圆x2?y2?8交于A、B两点，且|AB|?42，过点A、B分别作l的垂线与y轴交于点M、N，则|MN|等于（ ）

A. 22 B. 4 C. 42 D. 8

【解析】AB长为直径，∴l:kx?y?k?1?0经过原点，k??1，MN?2AB?8，选D 16. 已知数列{an}的首项a1?a，且0?a?4，an?1??项和，则以下结论正确的是（ ）

A. 不存在a和n使得Sn?2015 B. 不存在a和n使得Sn?2016 C. 不存在a和n使得Sn?2017 D. 不存在a和n使得Sn?2018

【解析】令a1?1，则所有奇数项都为1，偶数项都为5，排除B、C；令a1?2，则所有奇数项都为2，偶数项都为4，排除D，故选A.

三、解答题（本大题满分76分）

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?an?4an?4，Sn是此数列的前n

6?aa?4nn?17、（14分）解:（1） S?AM1A1? S?ABC?13 ，? VABC?A1B1C1? ……2分 2231，即N2到平面ABB1A1的距离等于1，? ，C1到平面ABB1A1的距离等于

2131VA1?AM1N2?VN2?AM1A1???

322C13A1 ? 三棱柱ABC?A1B1C1 的体积等于（立方单位），三棱锥

21N2P2B1A1?AM1N2的体积等于（立方单位）……………7分 2（2）取线段AA1的三等分点P1，P12，PC2，连PM1.

A1N2∥PC12，? ?M2PC1的大小等于异面直1，AM1∥PMM2P1N1M1A线A1N2，AM1所成的角或其补角的大小.…………9分

CB PM12?AM1?2，PC1?2 ，M2C?6 .

?? cos?M2PC12?2?61??.

22?2?2? 异面直线A1N2，AM1所成的角的大小等于

?.………………14分 313?i.…………2分 22218、（14分）解：（1）z?z?1?0的两个根为z??cosA?1?3 ，sinA? ，A? .…………4分 232ca5?6?232?6? ， ，得c?……………7分 ?sinCsinA1242 ? sinC?sin（2）

a2?b2?c2?2bccosA.

?9?b2?c2?bc?2bc?bc?bc，从而bc?9，等号当b?c时成立，此时19393.??ABC的面积的最大值等于.……………14分 Smax?bcsinA?24419、（14分）解：（1）设an?(xn,yn)，d?(d1,d2).

?xn?1?xn?d1由an?1?an?d，得?，所以数列?xn?是以x1为首项，公差为d1的等差数列；数列?yn?y?y?d?n?1n2是以y1首项，公差为d2的等差数列.……………………3分

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?a1?a2??an?（x1?x2??xn,y1?y2??yn)

1y1)?n(n?1)(d1,d2)

211?(nx1?n(n?1)d1,ny1?n(n?1)d2)?n(x1,221?na1?n(n?1)d.………………6分

2（2）设an?(xn,yn) ，bn?(mn,kn).

yn?1)?(xn,yn)?(xn?1?xn,yn?1?yn)?(3,0)，从而xn?1?xn?3，

由an?1?an?(xn?1,公差为3的等差数列，从而xn?3n?2.数列?yn?是常数列，yn?1?yn?0.数列?xn?是以1为首项，yn?1.

由bn?1?2bn得mn?1?2mn，kn?1?2kn，又m1?1，k1?3，?数列?mn?是以1为首项，公比为2的等比数列；数列?kn?是以3为首项，公比为2的等比数列，从而有mn?2n?1，kn?3?2n?1.……10分

a1?b1?a2?b2??an?bn?x1m1?x2m2??xnmn?y1k1?y2k2??ynkn

令Sn?x1m1?x2m2??xnmn?1?1?4?2?7?22??(3n?2)?2n?1………①

2Sn?1?2?4?22?7?23??(3n?2)?2n…………②.

?2n?1)?(3n?2)?2n，得Sn?5?(3n?5)?2n

①-②得，?Sn?1?3(2?22?23?令Tn?y1k1?y2k2?从而a1?b1?a2?b2?3?(1?2n)?ynkn??3?(2n?1)

1?2?an?bn?Sn?Tn?(3n?2)?2n?2………………14分

m2mx?ny?1上 ?n2?1，?M(m,n)在直线20、（16分解：（1）由点M(m,n)在椭圆C上，有

22m2m2?22222?n?1，得m?2，直线方程为x?，代入椭圆方程得y??0，得当n?0时，由2m2m（一个交点

2,0)，直线l是椭圆C切线. m1m2m1x?代入椭圆方程得x2?mx?1?n2?0，有?n2?1，直线为y??当n?0时，有

22nn21C切线.…………………4分 ??m2?4?(1?n2)?m2?2n2?2?0，直线是椭圆

2n2x2mx?n2y2?n2，将直线方程ny?1?另解：不讨论将椭圆方程化为代入消y，得到x的一元

22二次方程，然后证明??0

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