分析法在立体几何问题中应用浙江省湖州中学

分析法在立体几何问题中应用

湖州中学 凌 红

立体几何在高中是一个难点，特别是添辅助线，让很多同学无从下手.虽然证明题的思路是非常明确的，比如要证明线面平行，只要在平面中找到一条直线与已知直线平行即可；要证明两条异面直线垂直，只要构造一个包含其中一条直线的平面与另一条直线垂直即可，但是如何去寻找所需要的直线与平面呢？幸好空间向量的引入，使得立体几何也可以转化成代数问题进行计算，不需要添加辅助线，只要能建立适当的空间直角坐标系，通过计算即可解决立体几何的问题.但事与愿违，那些没有数量关系的几何问题不可能利用空间向量来解决，因此如何添加辅助线的可操作性的方法便呼之欲出.接下来，利用分析法讨论两类问题：如何添加辅助线和建立适当空间直角坐标系. 一、分析法解决辅助线问题

例1 在正方体ABCD?A1BC11D1中，求证：B1D?平面ACD1.

D1 C1

B1

A1

D

C

A B

分析：要证明B1D?平面ACD1，只要证明B1D垂直于平面ACD1内的两条相交直线.利用分析法，可以将B1D?平面ACD1看成是已知条件，则根据线面垂直的定义，有B1D垂直于平面ACD1内的所有直线，所以只要选取其中的两条来证明即可.接下来问题就转化成为证明B1D?AC和B1D?CD1，即两条异面直线垂直，常用的方法就是构造线面垂直.先来证明

B1D?AC.利用分析法，B1D?AC可以看成是已知条件，由于A、C、D处于下底面，只要过D有一条垂直垂直于AC的直线即可，因为底面是一个正方形，故对角线互相垂直，所以只要连接BD，就应有AC?平面BB1D.这样问题就转化为证明AC?平面BB1D.由于AC?BD,AC?B1B，即可证明.然后同理可证B1D?CD1.证明过程略.

评注：其实这个题，如果用三垂线定理，应该是比较容易想到连接BD，因为BD是B1D在下表面内的射影。但由于课改后，在必修2中对三垂线定理只字不提，增大了此类题目的难度.

类似地，《普通高中课程标准实验教科书》（人教版）数学必修2的73页上有这样一个探究题：如图，直四棱柱

'A'B'C'D'?ABCD（侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD满足什么条件时，AC?B'D'?

A' B'

D'

C' A D

B

分析：连接AC，只要A'C?BD，就有AC?BD.

例2 如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证：SA//平面MDB.

S

M

''''''''C

D C

A B

分析：要证明SA//平面MDB，只要在平面MDB中找到一条直线与SA平行.利用分析法，可以将SA//平面MDB看成已知条件，根据线面平行的性质定理，过SA的平面只要与平面MDB相交，则SA与交线平行.题目中包含SA有两个平面只有平面SAB和平面SAD，而这两个平面与平面MDB的交线在这个几何体的外面，不太好找.我们可以改变策略，在四棱锥中构作一个包含SA的平面.根据确定平面的公理2的推论：一条直线和直线外一点可以唯一确定一个平面，我们选取点C，连接AC交BD于O，构作平面SAC，它与平面MDB的交线是OM，故只要证明SA//OM.由于底面是平行四边形，M是SC的中点，易得SA//OM.证明过程略.

评注：由于线面平行的话，直线上所有点到平面的距离相等，而且垂直于同一个平面的两条直线平行，两条平行直线也可确定一个平面，有时也利用平行四边形构作平面.如下题.

在正方体ABCD?A、AC上的点，A1M?AN. 1BC11D1中，M、N分别是A1B求证：MN//平面BB1C1C.

二、分析法建立空间直角坐标系

利用空间向量解决立体几何问题有着无比的优越性，因此逐渐成为高考的热点之一.新课改也处处体现向量方法的重要性.在必修2的最后一章，介绍了空间直角坐标系，重点要求掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，以及空间向量的模长，从而掌握空间向量的数量积来解决长度与角度的问题.而空间直角坐标系是将几何问题转化为代数问题的关键，所以如何建立空间直角坐标系就显得犹为重要.接下来，利用分析法谈谈建立空间直角坐标系的问题.

?例3 四棱锥S?ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC?底面ABCD，已知?ABC?45，AB?2，

BC?22，SA?SB?3. （1） 求证：SA?BC；

（2） 求直线SD与平面SAB所成角的大小.

S

C

B

D

A

?分析：要建立空间直角坐标系，最好有一个线面垂直.先来分析下底面，由于下底面是?ABC?45的平行四边形，且

AB?2，BC?22，故连接AC，有?ABC是已?CAB为直角的等腰直角三角形.取BC的中点为O，连接AO，则

AO?BC.利用分析法，将SA?BC看成已知条件，所以应有BC?平面SAO，则SO?BC.因为侧面SBC?底面ABCD，根据面面垂直的定义，有SO?底面ABCD.故可取O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，

OS所在的直线为z轴建立空间直角坐标系.证明过程略.

附：分析法得到意想不到的结果

例4 设a,b,c都为正数，求证：abc?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b).

分析：由于a,b,c都为正数，当a?b?c?0,b?c?a?0,c?a?b?0时，可以将a,b,c看成是三角形的三边.由不等式的右边联想到海伦公式，有

abca?b?cabc(a?b?c)?(a?b?c)(b?c?a)(c?a?b)(a?b?c)?16S2?16??r()

4R2得R?2r（其中R,r分别为三角形的外接圆与内切圆的圆心）