第五次周末复习《统计与概率》

周末《数据的收集与整理》、《统计的应用》、《简单随机事件的概率与应用》

第一轮基础知识复习及相应练习

一、数据的收集与整理 考点扫描

1、数据收集的途径与整理方法（了解一下） （1）直接手段：调查、观察、测量、实验

（2）间接手段：查阅文献资料、使用互联网查询

（3）整理方法：分类、排序、分组、编码（解释一下）

2、统计调查的两种基本形式：① 全面调查，即普查，针对考查的全体对象；② 抽样调查，针对部分考查对象 3、总体、个体、样本及样本容量

把所要考查对象的全体叫做总体；每一个考查对象叫做个体；从总体中抽取的部分考查对象叫做总体的一个样本；样本中数据的个数叫做样本容量（注意：样本容量是不带单位的）

利用样本估计总体的特征是统计的基本思想，因此样本的选取一定要有代表性和合理性。 4、平均数、众数和中位数

（1）一般地，如果有n个数x1，x2，?，xn，我们把 叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记做x（读做“x拔”）

（2）在求n个数据的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，?，xk出现fk次（其中f1+f2+?fk=n），那么这n个数据的算术平均数x=（x1f1+x2f2+?+xkfk）叫做这k个数据的加权平均数，其中f1，f2，?，fk分别

n叫做x1，x2，?，xk的权，此处的权数是以频数（次数）表示的；当然，权数有时也以百分比形式表示出来。加权平均数的分母恰好为各权的和。在实践中，常用样本的平均数来表示总体的平均数。 平均数受极端值的影响较大。 （3）众数与中位数

① 在一组数据中，出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。一组数据的众数可能不止一个。

② 中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于 （当数据个数为奇数时）或 （当数据个数为偶数时）叫做这组数据的中位数。

一组数据中位数和平均数都只有一个， 5、数据的波动

（1）极差：一组数据中最大值与最小值的差，叫做这组数据的极差，它反映了一组数据波动范围的大小。组中数据有单位，极差也要带单位。

2

（2）方差：各个数据与平均数的差的平方和的平均数叫做这组数据的方差，记作S。 S=

2

11122222

[(x1-x)2+(x2-x)2+(x3-x)?+(xn-x)]=[(x12+x22+x3?+xn-nx] (排版很烂) nn方差越大，数据的波动性越大；方差越小，波动性越小。注意：一组数据并不一定是方差越小越好，要视具体情况而定

（3）标准差：方差的算术平方根就是标准差

【典型例题】

题型一、相关概念的简单应用（选择题）：① 全面调查与抽样调查；② 总体、个体、样本和样本容量；③ 平均数、众数与中位数；④ 极差、方差、标准差 【例1】（2013?遂宁）以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A．了解全班同学每周体育锻炼的时间 B．旅客上飞机前的安检

C．学校招聘教师，对应聘人员面试 D．了解全市中小学生每天的零花钱 【例2】（2013?内江）今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ） A．这1000名考生是总体的一个样本 B． 近4万名考生是总体 每位考生的数学成绩是个体 C．D． 1000名学生是样本容量

1

【例3】（2013?青岛）一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：现将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球．因此小亮估计口袋中的红球大约有（ ）个． 45 48 50 55 A．B． C． D． 【例4】（2013?大连）在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额/元 人数 5 2 6 3 D．7元

7 2 10 1 这8名同学捐款的平均金额为 A．3.5元 B．6元 C．6.5元

【例5】（2013?自贡）某班七个合作学习小组人数如下：4、5、5、x、6、7、8，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是（ ） 5 A．5.5 B． 6 C． 7 D． 题型二、与平均数、众数、中位数有关的计算

【例6】（2013?威海）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前6名选手的得分如下： 序号项目 笔试成绩/分 面试成绩/分 1 85 90 2 92 88 3 84 86 4 90 90 5 84 80 6 80 85 根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分） （1）这6名选手笔试成绩的中位数是__________分，众数是__________分．

（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩个占的百分比．

（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．

题型三、与极差、方差、标准差有关的计算

【例7】（2011?宿迁）省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次

甲 10 8 9 8 10 9

乙 10 7 10 10 9 8

（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是__________环，乙的平均成绩是__________环； （2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；

（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．

2

题型四、利用样本估计总体

【例8】（2013?咸宁）在对全市初中生进行的体质健康测试中，青少年体质研究中心随机抽取的10名学生的坐位体前屈的成绩（单位：厘米）如下：

11.2，10.5，11.4，10.2，11.4，11.4，11.2，9.5，12.0，10.2

（1）通过计算，样本数据（10名学生的成绩）的平均数是10.9，中位数是 ，众数是 ； （2）一个学生的成绩是11.3厘米，你认为他的成绩如何？说明理由；

（3）研究中心确定了一个标准成绩，等于或大于这个成绩的学生该项素质被评定为“优秀”等级，如果全市有一半左右的学生能够达到“优秀”等级，你认为标准成绩定为多少？说明理由．

题型五、利用统计量解决实际问题

【例9】（2011?安徽）一次学科测验，学生得分均为整数，满分10分，成绩达到6分以上为合格．成绩达到9分为优秀．这次测验中甲乙两组学生成绩分布的条形统计图如下： （1）请补充完成下面的成绩统计分析表： 甲组 乙组 平均分 6.9 方差 2.4 1.3 中位数 合格率 91.7% 83.3% 优秀率 16.7% 8.3% （2）甲组学生说他们的合格率、优秀率均高于乙组，所以他们的成绩好于乙组．但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要高于甲组．请你给出三条支持乙组学生观点的理由．

二、统计的应用

1、几种常用的统计图表

（1）条形统计图：用长方形的高来表示数据的图形，能够显示每组中的具体数据，易于比较数据间的差别。 （2）折线统计图：用几条线段连成的折线来表示数据的图形，易于显示数据的变化趋势。

（3）扇形统计图：扇形的大小反映部分在总体中所占的百分比大小的统计图，它可以直观地反映出各部分数量在总体中所占的份额。

（4）频数分布表、频数分布直方图、频数分布折线图：都能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况 先有频数分布表，后有频数分布图，然后才有频数分布折线图

3

2、频数与频率

（1）频数：将数据分组后落在各个小组内的数据的个数叫做频数；或者某一个数在数据中出现的次数叫做这个数的频数，频数不带单位

（2）频率：每一个小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率；或者频数除以数据的总个数叫做这个数的频率。

频数

（3）频数与频率之间的关系是： ＝频率

总次数

★★★★★绘制频数分布直方图的步骤：

（1）确定统计量的范围，计算出最大值与最小值的差，即极差；（极差一定要有单位） （2）决定组数和组距，合理分组；注意：组数=[

极差极差]+1，[]表示取整 组距组距（3）确定分点；为避免出现某一数据所在组不能确定的情况，应使分点与已知数据多一位小数，

且把每一组的起点稍微减小，最后一组的终点稍微增大。 （4）列频数分布表；

（5）绘制频数分布直方图：用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，． 【一定要粗略检验一下：各组的频数之和是否等于数据总个数】 说明：

（1）分组的组数一般没有严格的界定，可以根据实际情况进行合理分组。

（2）组距是指每个小组的两个端点之间的距离。在实践中，通常要求各组的组距相等。当数据个

数在50以内时，一般分5～8组。50以上的分组，不会考。组距一定要有单位

（3）确定分点的方法有很多种。为了保证相邻两组数据不交叉，通常会把最小值减少一点作为最

左端的分点，最大值加大一点作为最右端的分点。 ★★绘制频数分布折线图

在频数分布直方图的基础上，分别取各个矩形上面一条边的中点，并依次用线段连接这些中点以及两边的虚设组的中点，得到的折线与横轴组成一个封闭的图形。

也可以直接根据频数分布表中的各组的组中值和相应的频数值直接在坐标系中取点，顺次连接各点，当然不能忘了虚设组。

【不管是绘制频数分布表，还是直方图或折线图，都要有标题】

【典型例题】

题型一、会从各种图表中获取有用信息（选择题）：① 扇形统计图、条形统计图、折线统计图；② 频数分布表、频数分布直方图、频数折线图；③ 频数与频率； 【例1】（2013?杭州）根据2008～2012年杭州市实现地区生产总值（简称GDP，单位：亿元）统计图所提供的信息，下列判断正确的是（ ）

A．2010～2012年杭州市每年GDP增长率相同 2012年杭州市的GDP比2008年翻一番 B． 2010年杭州市的GDP未达到5500亿元 C． D．2008～2012年杭州市的GDP逐年增长 4