高中数学第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念学案新人教A必修4

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

[A级 基础巩固]

一、选择题

1．关于向量的概念，下列命题中正确的是( ) A．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B．模相等的两个平行向量是相等向量 C．若a和b都是单位向量，则a＝b D．两个相等向量的模相等

解析：A项，两个向量如果相等，则它们的模和方向相同，起点和终点不一定重合，故错误；B项，模相等的两个平行向量有可能方向相反，故错误；C项，两个向量相等不仅要求模相等还要求方向相同，单位向量的模相等，方向不一定相同，故错误；D项，如果向量相等，则它们的模和方向均相同，故正确．

答案：D

→

2．数轴上点A，B分别对应－1，2，则向量AB的长度是( ) A．－1 B．2 C．1 D．3

→

解析：|AB|＝2－(－1)＝3. 答案：D

→→→

3．如图所示，在⊙O中，向量OB、OC、AO是( )

A．有相同起点的向量 B．共线向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 答案：C

4．如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，

EF过点P，且EF∥AB，则( )

1

→→A.AD＝BC →→C.PE＝PF

→→B.AC＝BD →→D.EP＝PF

→→→→→→→→

解析：由平面几何知识知，AD与BC方向不同，故AD≠BC；AC与BD方向不同，故AC≠BD；→PE与→PF的模相等而方向相反，故→PE≠→PF；→EP与→PF的模相等且方向相同，所以→EP＝→PF.

答案：D

→→→→

5．若|AB|＝|AD|且BA＝CD，则四边形ABCD的形状为( ) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形

D．等腰梯形

→→→→

解析：由BA＝CD知四边形为平行四边形；由|AB|＝|AD|知四边形ABCD为菱形． 答案：C 二、填空题 6．有下列说法：

→→

①向量AB和向量BA长度相等；

→

②向量BC是有向线段； ③向量0＝0

→

→

④向量AB大于向量CD； ⑤单位向量都相等．

其中，正确的说法是________(填序号)． 解析：

序号 正误 原因 ① √ →→|AB|＝|BA|＝AB ② × 向量可以用有向线段表示，但不能把二者等同起来 ③ × 0是一个向量，而0是一个数量 ④ × 向量不能比较大小 2

⑤ 答案：① × 单位向量的模均为1，但方向不确定 →

7．如图，已知正方形ABCD的边长为2，O为其中心，则|OA|＝________．

→

解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA|＝2. 答案：2

→

8．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC→

上运动)，则向量AD长度的最小值为________．

解析：结合图形进行判断求解(图略)，根据题意，在正△ABC中，有向线段AD长度最53

小时，AD应与边BC垂直，有向线段AD长度的最小值为正△ABC的高，为.

2

53答案：

2三、解答题

9．如图所示，四边形ABEF和BCDE均是边长为1的正方形，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的向量中，

→→

(1)写出与AF，AE相等的向量；

→

(2)写出与AD模相等的向量．

→→

→→→

→→

→

→

解：(1)与AF相等的向量有BE，CD，与AE相等的向量为BD. (2)与AD模相等的向量有DA，CF，FC. 10.如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心．

3

→

(1)与OA的模相等的向量有多少个？

→

(2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？

→

(3)与OA共线的向量有哪些？

→

解：(1)与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB)，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个．

→

(2)存在．由正六边形的性质可知BC∥AO∥EF，所以与OA的长度相等、方向相反的向量→→

→→

→

→→→→→

→→

→

B级 能力提升

→

1．已知点O固定，且|OA|＝2，则A点构成的图形是( ) A．一个点 C．一个圆 →

解析：因为|OA|＝2，

所以终点A到起点O的距离为2. 又因为O点固定，

所以A点的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆． 答案：C

2．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0，其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．

解析：因为a与b为相等向量，所以a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故

B．一条直线 D．不能确定

→

是AO，OD，FE，BC，共4个．

(3)由(2)知，BC∥OA∥EF，OD，AD与OA在同一条直线上，所以与OA共线的向量有BC，

CB，EF，FE，AO，OD，DO，AD，DA，共9个向量．

4

使a∥b成立的条件是①③④.

答案：①③④

3．如图，两人分别从A村出发，其中一人沿北偏东60°方向行走了1 km到了B村，另一人沿北偏西30°方向行走了3 km到了C村，问B、C两村相距多远，B村在C村的什么方向上？

→→

∠CAB＝90°，则|BC|＝2.

→

|AB|13

又tan∠ACB＝＝＝，

→33|AC|

所以∠ACB＝30°，故B，C两村间的距离为2 km，B村在C村的南偏东60°的方向上．

→

解：由题可知|AB|＝1，|AC|＝3，

5