数学（理）一轮经典例题--圆的方程

解法二：将圆??x?2cos?,代入普通方程得x2?y2?4．

?y?2sin?如图所示可得，P1A、P2A分别是圆上的点到A(3,4)的距离的最小值和最大值．易知：P1A?3，P2A?7．

说明：

(1)在圆的参数方程??x?a?rcos?,(?为参数)中，A(a,b)为圆心，r(r?0)为半径，

?y?b?rsin?参数?的几何意义是：圆的半径从x轴正向绕圆心按逆时针方向旋转到P所得圆心角的大小．若原点为圆心，常常用(rcos?,rsin?)来表示半径为r的圆上的任一点．

(2)圆的参数方程也是解决某些代数问题的一个重要工具．

典型例题十六

例16 已知圆的方程为x?y?r，圆内有定点P(a,b)，圆周上有两个动点A、B，使PA?PB，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程．

分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求解．

解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB，PQ交于M，显然OM?AB，

222AB?PQ，

在直角三角形AOM中，若设Q(x,y)，则M(x?ay?b,)． 22

由OM2?AM2?OA，即

2(x?a2y?b21)?()?[(x?a)2?(y?b)2]?r2， 224也即x2?y2?2r2?(a2?b2)，这便是Q的轨迹方程．

解法二：设Q(x,y)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1?y1?r2，x2?y2?r2． 又PQ?AB，即

222222(x?a)2?(y?b)2?(x1?x2)2?(y1?y2)2?2r2?2(x1x2?y1y2)．①

又AB与PQ的中点重合，故x?a?x1?x2，y?b?y1?y2，即

(x?a)2?(y?b)2?2r2?2(x1x2?y1y2) ②

①＋②，有x2?y2?2r2?(a2?b2)． 这就是所求的轨迹方程．

解法三：设A(rcos?,rsin?)、B(rcos?,rsin?)、Q(x,y)， 由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有

x?a?rcos??rcos?， ① y?b?rsin??rsin?， ②

又由PA?PB有

rsin??brsin??b???1 ③

rcos??arcos??a22222联立①、②、③消去?、?，即可得Q点的轨迹方程为x?y?2r?(a?b)． 说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中．

本题给出三种解法．其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中隐含的数量关系．而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法．解法二涉及到了x1、x2、y1、

y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2?y2?r2的参数方程，只

涉及到两个参数?、?，故只需列出三个方程便可．上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解．

典型例题十七

例17 设点P(x,y)是圆x2?y2?1是任一点，求u?y?2的取值范围． x?1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y，转化为三角问题来解决． 解法一：设圆x2?y2?1上任一点P(cos?,sin?) 则有x?cos?，y?sin???[0,2?) ∴u?sin??2，∴ucos??u?sin??2

cos??1∴ucos??sin???(u?2)．

即u2?1sin(???)?u?2（tan??u） ∴sin(???)?(u?2)u?12．

又∵sin(???)?1

∴

u?2u?12?1

解之得：u??3． 4y?222分析二：u?的几何意义是过圆x?y?1上一动点和定点(?1,2)的连线的斜

x?122率，利用此直线与圆x?y?1有公共点，可确定出u的取值范围．

解法二：由u?y?222得：y?2?u(x?1)，此直线与圆x?y?1有公共点，故点x?1(0,0)到直线的距离d?1．

∴

u?2u?12?1

3． 422解得：u??另外，直线y?2?u(x?1)与圆x?y?1的公共点还可以这样来处理：

?y?2?u(x?1)2222由?2消去y后得：(u?1)x?(2u?4u)x?(u?4u?3)?0， 2?x?y?1此方程有实根，故??(2u?4u)?4(u?1)(u?4u?3)?0，

2222

解之得：u??3． 4说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解．或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便．

典型例题十八

例18 已知对于圆x2?(y?1)2?1上任一点P(x,y)，不等式x?y?m?0恒成立，求实数m的取值范围．

分析一：为了使不等式x?y?m?0恒成立，即使x?y??m恒成立，只须使

(x?y)min??m就行了．因此只要求出x?y的最小值，m的范围就可求得．

解法一：令u?x?y，

?x?y?u由?2 2?x?(y?1)?1得：2y2?2(u?1)y?u2?0 ∵??0且??4(u?1)2?8u2， ∴4(?u?2u?1)?0．

即u2?2u?1)?0，∴1?2?u?1?2， ∴umin?1?2，即(x?y)min?1?2 又x?y?m?0恒成立即x?y??m恒成立． ∴(x?y)min?1?2??m成立， ∴m?22?1．

22分析二：设圆上一点P(cos?,1?sin?)[因为这时P点坐标满足方程x?(y?1)?1]

问题转化为利用三解问题来解．

22解法二：设圆x?(y?1)?1上任一点P(cos?,1?sin?)??[0,2?)

∴x?cos?，y?1?sin? ∵x?y?m?0恒成立