（完整word版）八年级数学-一元二次方程知识点总结及典型习题，推荐文档

金老师复习（2） 一元二次方程

（一）、一元二次方程的概念

1．理解并掌握一元二次方程的意义

未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式ax?bx?c?0（a>0）； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数

（1）明确只有当二次项系数a?0时，整式方程ax?bx?c?0才是一元二次方程。

（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 （二）、一元二次方程的解法

1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；

2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．值得注意的几个问题：

2(1)开平方法：对于形如x?n或(ax?b)?n(a?0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一

222次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解.

2形如x?n的方程的解法：当n?0时，x??n;当n?0时，x1?x2?0;当n?0时，方程无实数根。

（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x?m)?n的方程，再运用开平方法求解。 配方法的一般步骤：

①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x?m)?n的形式； ④求解：若n?0时，方程的解为x??m?222n，若n?0时，方程无实数解。

?b?b2?4ac（3）公式法：一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的根x?

2a当b?4ac?0时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；

当b?4ac?0时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为x1?x2??当b?4ac?0时，方程无实数根.

公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b?4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；④若b?4ac?0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。

（4）因式分解法：

因式分解法的一般步骤：

若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。

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22222b； 2a（三）、根的判别式

1．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的参数取值范围。（1）?=b?4ac

（2）根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程ax?bx?c?0（a?0） ①当?22?a?0?a?0?方程有实数根；②当??方程无实数根；

???0时???0时222从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。 例：求证：方程(a?1)x?2ax?(a?4)?0无实数根。

（4）分类讨论思想的应用：如果方程给出的时未指明是二次方程，后面也未指明两个根，那一定要对方程进行分类讨论，如果二次系数为0，方程有可能是一元一次方程；如果二次项系数不为0，一元二次方程可能会有两个实数根或无实数根。 （四）、一元二次方程的应用

1.数字问题：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式。

2.几何问题：这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。

3.增长率问题（下降率）：在此类问题中，一般有变化前的基数（a），增长率（x），变化的次数（n），变化后的基数（b）,这四者之间的关系可以用公式a(1?x)?b表示。

4.其它实际问题（都要注意检验解的实际意义，若不符合实际意义，则舍去）。 （五）新题型与代几综合题

（1）有100米长的篱笆材料，想围成一矩形仓库，要求面积不小于600平方米，在场地的北面有一堵50米的旧墙，有人用这个篱笆围成一个长40米、宽10米的仓库，但面积只有400平方米，不合要求，问应如何设计矩形的长与宽才能符合要求呢？

（2）读诗词解题（列出方程，并估算出周瑜去世时的年龄）：

大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，英年早逝两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符，哪位学子算得准，多少年华属周瑜？

22(3)已知：a,b,c分别是?ABC的三边长，当m?0时，关于x的一元二次方程c(x?m)?b(x?m)?2max?0n有两个相等的实数根，求证：?ABC是直角三角形。

（4）已知：a,b,c分别是?ABC的三边长，求证：方程bx?(b?c?a)x?c?0没有实数根。

（5）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程mx?4x?4?0与x?4mx?4m?4m?5?0的根都是整数？

222222222m2?1?0，其中m为实数，（6）已知关于x的方程x?2x?2（1）当m为何值时，方程没有实数根？（2）

x?2x?2m2当m为何值时，方程恰有三个互不相等的实数根？求出这三个实数根。 答案：（1）m??2（2）x??1,?1?（六）相关练习

（一） 一元二次方程的概念

1．一元二次方程的项与各项系数

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2.

把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项： （1）5x?2?3x （2）(5a?1)?4(a?3) 2．应用一元二次方程的定义求待定系数或其它字母的值

(1) m为何值时，关于x的方程(m?2)xm?(m?3)x?4m是一元二次方程。

2222x2?7x?8（2）若分式?0，则x?

x?13．由方程的根的定义求字母或代数式值

22(1)关于x的一元二次方程(a?1)x?x?a?1?0有一个根为0，则a?

(2)已知关于x的一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)有一个根为1，一个根为?1，则a?b?c? ，a?b?c? （二）一元二次方程的解法 1．开平方法解下列方程：

22（1）169(x?3)?289 (2) (1?3)m?0

2

2．配方法解方程：

2（1）x?2x?5?0 (2)2y?4y??3 \\

2

3．公式法解下列方程：

22（1）3x?6x?2 （2）p?3?23p

4．因式分解法解下列方程：

22（1）y?4y?45?0 (2) (x?5)?2(x?5)?1 （3）7x?21x?0

2

5．解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）：

(1)6x(x?2)?(x?2)(x?3) (2) 81(2x?5)?144(x?3)

（三）一元二次方程的根的判别式 1．不解方程判别方程根的情况：

22（1）4x?x?3?7x （2）3(x?2)?4x (3)4x?5?45x

222

2．k为何值时，关于x的二次方程kx?6x?9?0

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2（1）有两个不等的实数根 （2）有两个相等的实数根 （3）无实数根

3.k为何值时，方程(k?1)x?(2k?3)x?(k?3)?0有实数根.

（四）一元二次方程的应用

1．已知直角三角形三边长为三个连续整数，求它的三边长和面积.

2.某印刷厂在四年中共印刷1997万册书，已知第一年印刷了342万册，第二年印刷了500万册，如果以后两年的增长率相同，那么这两年各印刷了多少万册？

3．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

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