（完整版）平面向量知识点及方法总结总结

平面向量知识点小结及常用解题方法

一、平面向量两个定理

1.平面向量的基本定理 2.共线向量定理。 二、平面向量的数量积

rrr1.向量b在向量a上的投影：|b|cos?，它是一个实数，但不一定大于0.

rrrrrrrr2.a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积.

rr三坐标运算：设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则

rrrr（1）向量的加减法运算：a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2).

r（2）实数与向量的积：?a??(x1,y1)?(?x1,?y1).

uuur（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的

有向线段的终点坐标减去起点坐标.

（4）平面向量数量积：a?b?x1x2?y1y2.（5）向量的模：a2?|a|2?x2?y2?|a|?x2?y2. 四、向量平行(共线)的充要条件

rrrrrrrr2rr2a//b?a??b(b?0)?(a?b)?(|a||b|)?x1y2?y1x2?0. 五、向量垂直的充要条件

rrrrrrrra?b?a?b?0?|a?b|?|a?b|?x1x2?y1y2?0.

rrrr六．a?(x1,y1),b?(x2,y2)cospa,bf?x1x2?y1y2x12?y12.x22?y22rrrrr 七、向量中一些常用的结论

1.三角形重心公式

在△ABC中，若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，则重心坐标为G(x1?x2?x3,y1?y2?y3).

332.三角形“三心”的向量表示

uuuruuuruuurr（1）GA?GB?GC?0?G为△ABC的重心.

uuuruuuruuuruuuruuuruuur（2）PA?PB?PB?PC?PC?PA?P为△ABC的垂心.

uuuuruuuruuuuruuuruuuuruuur（3）|AB|PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P为△ABC的内心；

uuuruuuruuuruuurr1uuu2uuur3. 向量PA,PB,PC中三终点A,B,C共线?存在实数?,?，使得PA??PB??PC且????1． 4. 在△ABC中若D为BC边中点则AD?(AB?AC)

uuuruuurAB5.与AB共线的单位向量是?uuur

|AB|uuuruuuruuur

1

七．向量问题中常用的方法

（一）基本结论的应用

uuuuruuur2uuuruuuruuuruuur1.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC?16,?AB?AC???AB?AC??则?AM??

（A）8 （B）4 （C） 2 （D）1

2.已知?ABC和点M满足MA?MB+MC?0.若存在实数m使得AB?AC?mAM成立，则m= A．2 B．3 C．4 D．5

??????????????????rrrrab3. 设a、b都是非零向量，下列四个条件中，能使r?r成立的条件是（ ）

|a||b|rrrrrrrrrrA、a??b B、a//b C、a?2b D、a//b且|a|?|b|

uuur4. 已知点A?1,3?,B?4,?1?,则与向量AB同方向的单位向量为____________

rrrrrrrrr5.平面向量a?(1,2)，b?(4,2)，c?ma?b（m?R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m?（ ）A、?2 B、?1 C、1 D、2

uuur1uuuruuur2uuuruuur6. ?ABC中AN?NC,P是BN上一点若AP?AC?mAB则m=__________

311uur2uuur2uur2uuur2uuur2uuur27.o为?ABC平面内一点，若oA?BC?oB?CA?oC?AB则o是?ABC____心

8. （2017课标I理）已知向量a,b的夹角为60,a?2,b?1，则a?2b? . （二）利用投影定义

0uuurruuuruuu9. 如图，在ΔABC中，AD?AB，BC?3BD，AD?1，则

uuuruuur3AC?AD= （A）23 （B）2 （C）33 （D3

ruuuruuu 10. 已知点A??1,1?.B?1,2?.C??2,?1?.D?3,4?,则向量AB在CD方向上的投影为

A．32

2B．315

2C．?32 2D．?315

211设?ABC,P0是边AB上一定点,满足P0B?1AB,且对于边AB上任一点P,恒有4PB?PC?P0B?P0C则

A．?ABC?90 B．?BAC?90 （二）利用坐标法

00C．AB?AC

0D．AC?BC

AD?2,BC?1,P是腰DC上的动点，12. 已知直角梯形ABCD中，AD//BC,?ADC?90,

2

则

uuuruuurPA?3PB的最小值为____________.

13．（2017课标II理）已知?ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，

uuuruuuruuurPA?(PB?PC)的最小值是（ ）A.?2

（三）向量问题基底化 14.

B.?34 C.? D.?1 23uuuvuuuuvuuuvuuuvuuuvuuuvBC?2BD,CA?3CE, 在边长为1的正三角形ABC中, 设则AD?BE?____________．

uuuruuur15. （2017天津理）在?ABC中，∠A?60?，AB?3，AC?2.若BD?2DC，

uuuruuuruuuruuuruuurAE??AC?AB(??R)，且AD?AE??4，则?的值为___________.

16.见上第11题

（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化

uuur1uuuruuur2uuuruuurAC?mAB则m=__________ 例题 1. ?ABC中AN?NC,P是BN上一点若AP?311 2. （2017课标I理）已知向量a,b的夹角为60,a?2,b?1，则a?2b?

0uuurruuuruuu3、如图，在ΔABC中，AD?AB，BC?3BD，AD?1，则

uuuruuur3AC?AD= （A）23 （B）

217.设向量a，b，c满足

（C）

33 （D3

a=b=1，agb=

?12，

a?c,b?c=600，则c的最大值等于

A．2 B．3 C．2 D．1

18.若a，b，c均为单位向量，且a?b?0，(a?c)?(b?c)?0，则|a?b?c|的最大值为

（A）2?1

（B）1

（C）2

（D）2

19.已知a,b是单位向量,agb?0.若向量c满足c?a?b?1,则c的取值范围是

????，,2+1? B．?2-1，,2+2? C．?1，,2+1? D．?1，,2+2? A．?2-1????20.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是

(A) a∥b (B) a⊥b (C) (D)a+b=a?b （五）向量与解三角形

uuuruuur21．在△ABC中，AB=2，AC=3，ABgBC= 1则BC?___.

3

urururrurrurururrurrururrurur022.已知平面向量?,?,(??0,??0)满足?,?,(??0,??0)??1,?与?-?夹角120，求?取值范

围_______

uuruuruuurrcosCuuuruurcosBuuu023.锐角三角形ABC中oA?oB?oC,A?30若.AB?.AC?2moA求m

sinCsinB 4