江苏省镇江市2016届高三上学期期末调研考试数学试题word版（含答案）.(DOC)

第二部分（加试部分）

21. 【选做题】在A，B，C，D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．解答时．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A. 选修4—1：几何证明选讲

在直径是AB的半圆上有两点M，N，设AN与BM的交点是P. 求证：AP·AN＋BP·BM＝AB.

2

(第21—A题图) 【答案】略．

【命题立意】本题旨在考查圆的几何性质，圆周角的关系．考查运算求解能力，难度较小． 【解析】证明：作PE⊥AB于E， 因为AB为直径，

所以∠ANB＝∠AMB＝90°(2分)

所以P，E，B，N四点共圆，P，E，A，M四点共圆．(6分)

??AE·AB＝AP·AN （1）?(8分) ?BE·AB＝BP·BM （2）?

(1)＋(2)得AB(AE＋BE)＝AP·AN＋BP·BM(9分) 即AP·AN＋BP·BM＝AB(10分)

2

(第21题A图)

B. 选修4—2：矩阵与变换 求矩阵?

?3

?1

1?3?

?的特征值及对应的特征向量．

?1??1?

【答案】属于λ1＝2的一个特征向量为??，属于λ1＝4的一个特征向量为??．

?－1??1?

【命题立意】本题旨在考查矩阵特征值与特征向量的运算．考查运算求解能力，难度较小． 【解析】特征多项式f(λ)＝|

λ－3－1

－1λ－3

|＝(λ－3)－1＝λ－6λ＋8(3分)

2

2

由f(λ)＝0，解得λ1＝2，λ2＝4(6分)

??－x－y＝0，

将λ1＝2代入特征方程组，得?

?－x－y＝0?

?1?

?x＋y＝0，可取??为属于特征值λ1＝2的一个特征向量(8分)

?－1?

??x－y＝0，

同理，当λ2＝4时，由??x－y＝0，

?－x＋y＝0?

?1?

所以可取??为属于特征值λ2＝4的一个特征向量．

?1?

综上所述，矩阵?

?21?

?有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；

?12?

?1??1?

属于λ1＝2的一个特征向量为??，属于λ1＝4的一个特征向量为??，(10分)

?－1??1?

C. 选修4—4：坐标系与参数方程

?π??x＝2cos θ，?已知直线l的极坐标方程为ρsin?θ－?＝3，曲线C的参数方程为?(θ为参

3???y＝2sin θ?

数)，设P点是曲线C上的任意一点，求P到直线l的距离的最大值． 【答案】5．

【命题立意】本题旨在考查参数方程与普通方程的转化，点到直线的距离．考查运算能力和转化能力，难度较小．

π??【解析】由ρsin?θ－?＝3，可得：

3??3?1?

ρ?sinθ－cosθ?＝3

2?2?

所以y－3x＝6即：3x－y＋6＝0(3分)

??x＝2cosθ22

由?得x＋y＝4，圆的半径为r＝2(6分) ?y＝2sinθ?

6

所以圆心到直线l的距离d＝＝3(8分)

2

所以，P到直线l的距离的最大值为d＋r＝5.(10分) D. 选修4—5：不等式选讲

设x，y均为正数，且x>y，求证：x＋【答案】略．

【命题立意】本题旨在考查基本不等式及其应用．考查运算求解能力，难度较小． 【解析】证明：x－y＋＝

44

2＝(x－y)＋2(3分)

x－2xy＋y（x－y）

2

4

≥y＋3.

x－2xy＋y2

2

x－yx－y2＋2

＋4

2，(5分)

（x－y）

因为x>y，x－y>0， 所以

x－yx－y2＋4＋2 2（x－y）

3x－yx－y4

≥3××2＝3，

22（x－y）当且仅当

x－yx－y2＝4

＝2取等号，此时x－y＝2.(10分) 2（x－y）

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22. (本小题满分10分)

如图，在棱长为3的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝CF＝1. (1) 求两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值； (2) 求直线BB1与平面BED1F所成角的正弦值．

(第22题图) 【答案】（1）

39314；（2）． 3914

【命题立意】本题旨在考查空间直角坐标系的建立，空间向量的应用，空间异面直线所成角、线面所成角的求解与应用等．考查空间想象能力和识图能力，难度中等.

【解析】(1) 以D为原点，建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示，

(第22题图)

→

则A(3，0，0)，C1(0，3，3)，AC1＝(－3，3，3)， →

B(3，3，0)，E(3，0，2)，BE＝(0，－3，2)．(2分) →→AC1·BE－9＋639→→

所以cos〈AC1，BE1〉＝＝＝－，

→→33×1339|AC1||BE|故两条异面直线AC1与BE所成角的余弦值为

39

.(5分) 39

→→

(2) B(3，3，0)，BE＝(0，－3，2)，D1E＝(3，0，－1)． 设平面BED1F的一个法向量为n＝(x，y，z)， →??3x－z＝0，?n·D1E＝0，?

由?得?

?→－3y＋2z＝0，??n·BE＝0，?

??y＝2x，

所以?则n＝(x，2x，3x)，不妨取n＝(1，2，3)，

?z＝3x?

设直线BB1与平面BED1F所成角为α，则

9314→

sinα＝|cos〈BB1，n〉|＝||＝.(9分)

143×14314

所以直线BB1与平面BED1F所成角正弦值为(10分)

1423. (本小题满分10分) 证明：对一切正整数n，5＋2·3【答案】略．

【命题立意】本题旨在考查数学归纳法．难度较小. 【解析】(1) 当n＝1时，能被8整除，(2分)

n

n－1

＋1能被8整除．