第六章 线性空间 习题答案

第六章 线性空间

3．检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1）次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2）设A是一个n?n实矩阵，A的实系数多项式f(A)的全体，对于矩阵的加法和数量乘法； 3）全体n级实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5）全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

(a1,b1)?(a2,b2)?(a1?a2,b1?b2?a1a2)，

k(a1,b1)?(ka1,kb1?k(k?1)2a1)； 2 6）平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法：

k??0；

7）集合与加法同6），数量乘法定义为：

k???；

8）全体正实数R?，加法与数量乘法定义为：

a?b?ab，ka?ak．

解 1）不能构成实数域上的线性空间．

因为两个n次多项式相加不一定是n次多项式，所以对加法不封闭． 2）能构成实数域上的线性空间．

事实上，V?{f(A)|f(x)?R[x]}即为题目中的集合，显然，对任意的f(A),g(A)?V，及k?R，有

f(A)?g(A)?h(A)?V，kf(A)?(kf)(A)?V，

其中h(x)?f(x)?g(x)．这就说明V对于矩阵的加法和数量乘法封闭．容易验证，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，故V构成实数域上的线性空间．

3）能构成实数域上的线性空间．

由于矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，故只需证明对称（反对称，上三角）矩阵对加法与数量乘法是否封闭即可．而两个对称（反对称，上三角）矩阵的和仍为对称（反对称，上三

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角）矩阵，一个数k乘对称（反对称，上三角）矩阵也仍为对称（反对称，上三角）矩阵．于是，n级实对称（反对称，上三角）矩阵的全体，按照矩阵的加法和数量乘法，都构成实数域上的线性空间．

4）不能构成实数域上的线性空间．

因为，两个不平行与某一向量?的两个向量的和可能平行于?，例如：以?为对角线的任意两个向量的和都平行于?，从而不属于题目中的集合．

5）能构成实数域上的线性空间．

事实上，显然，按照题目中给出的加法和数量乘法都封闭．容V?{(a,b)|a,b?R}即为题目中的集合．易验证，对于任意的(a,b)，(ai,bi)?V，i?1,2,3；k,l?R，有

①由于两个向量的分量在加法中的位置是对称的，故加法交换律成立； ②直接验证，可知加法的结合律也成立；

③由于(a,b)?(0,0)?(a?0,b?0?0)?(a,b)，故(0,0)是V中加法的零元素；

2,④如果(a,b)?(a1,b1)?(a?a1,b?b1?aa1)?(0,0)，则有(a1,b1)?(?a,a?b)，即(?aa2b?)为

(a,b)的负元素；

1(1?1)2a)?(a,b)； 2l(l?1)2l(l?1)2k(k?1)⑥k(l(a,b))?k(la,lb?a)?(kla,k[lb?a]?(la)2)

222kl(kl?1)2 ?(kla,klb?a)?(kl)(a,b)；

2k(k?1)2l(l?1)2⑦k(a,b)?l(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a)

22k(k?1)2l(l?1)2?(ka?la,kb?a?lb?a?kla2)

22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,(k?l)b?a]

2⑤1(a,b)?(1a,1b??(k?l)(a,b)；

⑧k[(a1,b1)?(a2,b2)]?k(a1?a2,b1?b2?a1a2)

?[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?而

k(k?1)(a1?a2)2]， 2k(a1,b1)?k(a2,b2)?(ka1,kb1?k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2?(ka1?ka2,kb1?a1?kb2?a2?k2a1a2)

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?[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?即k[(a1,b1)?(a2,b2)]?k(a1,b1)?k(a2,b2)．

k(k?1)(a1?a2)2]， 2 于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以V构成实数域上的一个线性空间．

6）不能构成实数域上的线性空间． 因为1??0??，故不满足定义的第5条规律．

7）不能构成实数域上的线性空间．

因为(k?l)????2??????k??l?，故不满足定义的第7条规律． 8）能构成实数域上的线性空间．

由于两个正实数相乘还是正实数，正实数的指数还是正实数，故R?对定义的加法和数量乘法都是封闭的．容易验证，对于任意的a,b?R，k,l?R，有

①a?b?ab?ba?b?a；

②(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c)； ③a?1?a1?a，即1是定义的加法?的零元素； ④a??111?a?1，即是a的负元素； aaa1⑤1a?a?a；

⑥k(la)?k(a)?(a)?a?a?(kl)a； ⑦(k?l)a?ak?lllklkkl?akal?(ka)?(la)

kkk⑧k(a?b)?k(ab)?(ab)?ab?(ka)?(kb)．

于是，这两种运算满足线性空间定义的1~8条，所以R构成实数域上的一个线性空间． 『方法技巧』直接根据定义逐条验证即可，但是也要注意验证所给的加法和数量乘法是封闭的． 4．在线性空间中，证明：

1）k0?0；

2）k(???)?k??k?．

『解题提示』利用线性空间定义的运算所满足的规律和性质．

证明 1）证法１ 由于对任意的向量?，存在负向量??，使得??(??)?0，故

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?

k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0；

证法２ 对于任意的向量?，有k??k0?k(??0)?k?，左右两边再加上k?的负向量?k?，即可得k0?0；

2）利用数量乘法对加法的分配律，得到

k(???)?k??k(?????)?k?，

等式两边再加上k?的负向量?k?，即可得k(???)?k??k?． 5．证明：在实函数空间中，1,cost,cos2t是线性相关的．

『解题提示』只需要说明其中一个向量可以由其他向量线性表出即可．

证明 由于在实函数空间中，有cos2t?2cost?1，即cos2t可由另外两个向量线性表出，故

221,cos2t,cos2t是线性相关的．

7．在P4中，求向量?在基?1,?2,?3,?4下的坐标，设

2）?1?(1,1,0,1),?2?(2,1,3,1),?3?(1,1,0,0),?4?(0,1,?1,?1),??(0,0,0,1)． 解法1 设?在基?1,?2,?3,?4下的坐标为(k1,k2,k3,k4)?，则有

??k1?1?k2?2?k3?3?k4?4．

2）将向量等式按分量写出，得

?k1?2k2?k3?0,?k?k?k?k?0,?1234 ?3k?k?0,24???k1?k2?k4?1.解方程组，得k1?1,k2?0,k3??1,k4?0，即为?在基?1,?2,?3,?4下的坐标．

解法2 将?1,?2,?3,?4和?作为矩阵的列构成一个矩阵

A???1,?2,?3,?4,??，

对A进行初等行变换，将其化成最简阶梯形矩阵，从而确定?与?1,?2,?3,?4的线性关系．

2）对A进行初等行变换，得到

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