人教版四年级下册《数学广角 - 植树问题》教学片段及反思

在生活中体验 在活动中学习

人教版四年级下册《数学广角——植树问题》教学片段及反思

教学背景：

“植树问题”是经典的奥数内容，新课程教材把它放在四年级下册的“数学广角”中，让所有的学生都学习，说明这一教学内容具有很高的数学思维和很强的探究空间，即需要教师的有效引领，也需要学生的自主探究。“植树问题”是离学生生活很近的一种数学问题，孩子对于这一问题的各种现象（种树、在路边安装路灯、挂灯笼、排队、爬楼梯、锯木头??）虽有一定的生活经验，但从学生的思维特点看，四年级学生仍以形象思维为主，抽象逻辑思维能力只有初步的发展，要真正地理解“植树问题”的规律,抽象出其数学模型，并对这些规律的理解、掌握、灵活运用其规律解决相关的“植树问题”却有一定的难度。在教学时可从实际问题入手，让学生通过动手操作、合作探究、猜测验证、比较分析、归纳总结等数学活动来发现隐含于不同的情形中的规律，体验这一数学思想方法在实际生活中的应用。

课堂写真： 片段一

1．巧用手指，理解“间隔” 。

师：勤劳的人们用双手创造了幸福的生活，而我们的手上也隐含着数学的奥秘，举起你们的左手，看看能从中得到什么数字？

生：5，5个手指。

师：老师还从中得到了一个数字4，你们知道它指的是什么吗？ 生：空隙、空格。

师：对，指的是手指间的空隙，在数学上我们把这样的空隙叫做间隔。（板书：间隔）我们手上每两个手指之间有一个间隔，大家仔细观察老师的手，5个手指，有几个间隔？4个手指的时候有几个间隔？3个手指，2个手指呢？

师：你们发现手指数与间隔数有什么关系吗？ 生：手指的根数比间隔数多1，间隔数比手指数少1。 2．生活中的间隔。

师：生活中的间隔随处可见，比如（课件出示）：植树中，每相邻两棵数之间的距离是一个间隔，排队时每两人之间的距离是一个间隔，春节挂灯笼

时，灯笼之间也有间隔，再如：爬楼梯、锯木头等。与间隔有关的问题我们都称“植树问题”，这节课我们就一起来研究和解决一些简单的植树问题。（板书：植树问题）

反思：

恩格斯说过：“由一种形式转化为另一种形式，不是无聊的游戏，而是数学的杆杠；如果没有它，就不能走很远”。课始从学生熟悉的手指间认识“间隔”， 化陌生为熟悉，转化了学生对“间隔”词语的陌生而引发的思维障碍，并举例生活中的一些间隔的事物，意在让学生体会生活中不同的事物或现象之间存在着相同的数学本质。这样引入亲切自然，即让学生感受到生活中处处洋溢着数学气息，又为接下来的学习分散难点。

片段二

1．动手植树，初步感知。

课件出示题目：为了美化校园环境，学校准备在一条长20米的小路一边植树，每间隔5米栽一棵，该怎么种？能种几棵？你能帮忙设计一个植树方案吗？

学生猜测： 生1：5棵。 生2：5棵。 生3：3棵。 生4：4棵。 ??

师：到底能种几棵？你能用图表示出来吗？

生1：能，我打算用学具代表树苗摆一摆，看看能植多少棵？ 生2：我打算用画线段图的方法，看看能植多少棵？

师：这都是学习的一种好方法，请同学们认真思考后，用你喜欢的方法把你设计的方案在纸上表示出来，看看能植多少棵？(学生动手做，老师巡视并选择不同的方案展示)

师：比较一下这些植树示意图，有什么不同和相同的？ 生1：都是四个间隔。 生2：植树的棵树不一样。

生3：植树的方案不一样，所以植的棵树不一样。

师：同学们刚才猜的这些数据都对，只是栽的情况不一样，所以植树的棵树也不一样。

引导学生观察植树植法：两端都栽，只栽一端，两端不栽。 反思：

数学家华罗庚认为：“数无形，少直观；形无数，难入微”，数形结合就是借助形象的图形来解题，使抽象的数学问题直观化、生动化。它不仅可以激发学生学习兴趣，而且能加深学生对解题思路的理解，发展学生的思维能力。课始，让学生设计方案，然后猜测，大部份的孩子认为总长度除以间隔的长度就是棵数，后来学生通过用自己喜欢的方法动手实验，实际“种一种”，就会感知到在不封闭的直线上植树常出现的三种植树情况。

2．小组合作，寻找规律。

师：如果让你来植树，要使每两棵之间的距离相等而且是整数，还可以每隔几米种一棵？

生1：1米，2米。 生2：4米，10米。 生3：20米。

师：下面请同学们小组合作，选择两端都栽的这种植树情况，用自己喜欢的方式表示出来（可以画线段图，也可以借助学具摆一摆），把数据记录在表格里，并观察总长、间隔、棵数之间有怎样的关系？（学生探究，老师巡视）

课件展示表格图，（表格图略）各小组推选代表汇报，师根据汇报填表。 师：仔细观察这些数据，你有什么发现？ 生1：棵树比间隔数多1。

生2：总长除以间隔距离就等于间隔数。 生3：用间隔数加1就等于棵树。

生4：必须是两端都栽，才能用间隔数加1就等于植树的棵树。 师板书：两端都栽（线段图略）：植树的棵数=间隔数+1。 反思：

用表格的方式来呈现学生所汇报的植树问题中的各部份数据，便于学生（特别是中下生）的观察比较、理解分析，为学生抽象出“总长度÷间隔的长度=间隔数”、“两端都种：棵数=间隔数+1”等数学模型提供一种直观的表象。

师：刚才我们探究了两端都栽的植树情况，那只栽一端呢? 小组合作探究，并汇报，师根据学生汇报探究的数据填表。 师：只栽一端，总长、间隔、棵数之间有怎样的关系？ 生1：棵树和间隔数一样。

生2：直接用总长除以间隔距离就等于间隔数也就是棵树。 师板书：只栽一端（线段图略）：植树的棵数=间隔数。 师：能不能具体地说说你是怎样理解的？

生：原来两端都栽，现在只栽一端就要少栽一棵，所以就不用加1。

师：真行，能根据一些事实进行合理的推理，这也是学习的一种好方法。 师：刚才我们已经通过动脑动手探究出两端都栽，只栽一端的两种情况，还有一种两端不栽的情况，应该又有什么规律呢？请同学们利用刚才的方法探究出来。（小组合作，师巡视）

学生汇报，师根据学生汇报探究的数据填表。 师：这次的总长、间隔、棵数之间又有怎样的关系？ 生：我发现两端不栽时棵树比间隔少1。

师板书：两端不栽（线段图略）：植树的棵数=间隔数－1。

师：为什么只栽一端的情况下棵树与间隔数一样，而两端都栽和两端不栽这两种情况下与间隔数不一样？

生1：因为只栽一端一个间隔就栽一棵树，所以会一样。

生2：两端都栽前一个端点没有间隔就已经栽了一棵，所以会比间隔数多1。而两端不栽最后一个间隔没有栽 ，所以会比间隔数少1。

学生回答后，老师课件演示植树的过程（线段图：一段一个点，一点一个段） 反思：

学生已经经历了两端都种的探索、抽象规律的过程，于是本环节只栽一端和两端都不栽的规律的教学便放手让学生自主探究，教学过程中由扶到放，在“放”中，采取小组合作的方式，资源互补，照顾差异；最后表格中三种种法的对比，有助于学生对植树问题的规律的深层次理解和掌握。学生借助比较，建立了点数与棵树、段数与间隔数之间的对应关系，思维发展也有了凭借，使数学学习的思想方法真正得以渗透。

片段三

1．应用规律，拓展练习。

①、在一条全长2千米的街道两旁安装路灯（两端都要安装），每隔50米安装一座。一共要安装多少座路灯？

②、一根木头长10米，要把它平均锯成5段，每锯一段需要7分钟，锯完5段一共要花多少分钟？

③、妈妈要给小明的新衣服钉纽扣，衣服长40厘米，每隔10厘米钉一颗，一共需要买几颗纽扣？

2.课堂小结、体验价值。

师：在我们的生活中有很多数学知识，这节课同学们就利用了自己的双手和大脑找到了生活中植树问题的规律。老师真替你们感到高兴！

反思：

数学来源于生活，又应用于生活。这些练习都是学生常见的生活情境。通过把生活中的问题数学化，使学生体验到活用数学知识解决生活问题的快乐，也感受到数学的应用价值。

分析与研究：

荷兰数学家弗赖登塔尔认为，学生学数学就是经历数学化过程，就是把数学研究对象的某些特征进行抽象，用数学语言、图形或模式表达出来，建立数学模型。新课中，老师创设了为学校设计植树方案，学生从已有的知识经验出发，利用学具摆一摆，画图等设计出植树的方案，并在比较中形象感知到在不封闭的直线上植树常出现的三种植树情况：“两端都栽”“只栽一端”“两端不栽”。首先着力于植树问题的“两端都栽”这种最基本的情况，通过摆一摆，画一画等多种方法，帮助学生建立植树问题表象，将文字信息和学生思维耦合，促进学生从形象思维向抽象思维过渡，并通过渗透一一对应数学思想揭示了“植树棵数为什么恰恰比间隔数多1”这个规律；接着，通过枚举“全长长度不变，变化间隔的长度”为学生提供多次体验“植树”的机会。学生在学习活动中经历了动手操作，合作交流、分析思考、建立模型的数学化过程。学生构建植树问题中两端都栽的数学模型后。在此基础上又根据植树问题三种情况特征间的内在逻辑联系，在对比中推出植树问题的另外两种情况的特征。之后在练习中引导学生巩固、扩展这一模型的应用，沟通了安装路灯问题、锯木头问题、钉纽扣问题等的联系，促进模型的内化。

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