04 第四节 定积分的换元积分法和分部积分法

??从而

?20x2sinxdx?2?20xcosxdx???2.

1

例12 (E10) 计算定积分

?1/2e?2x?1dx.

解 令t?2x?1,则tdt?dx,当x?于是有

1时, t?0;当x?1时, t?1; 2?11/2e?2x?1dx??10te?tdt

再使用分部积分法，令u?t,dv?e?tdt,则du?dt,v??e?t.

12从而tedt??te?edt???(e?t)?1?.

000ee0?1?t?t1?11?t

例13 求定积分

?|lnx|dx.

e?2xe2解 因为在[e?2,1]上lnx?0,在[1,e2]上lnx?0,所以应分两个区间进行积分，于是

?e2|lnx|xe?2dx??1?lnxxe?2dx?1e?e2lnx11?(?2xlnx)??2?x2dx???1e?2lnxd(2x)?e21?e21lnxd(2x) dx

e?2xdx?(2xlnx)e21??e22x1?4??4xe1?4e?4xe?2?8(1?e?1).

例14 已知

?2ln2dte?1tx??6, 求x.

解 令et?1?u,则

?2ln2dtet?1x??2udu?2arctanuex?1(u2?1)u33ex??12???2arctanex?1? 36故arctanex?1??4, 所以x?ln2.

例15 已知f(x)满足方程

f(x)?3x?1?x求f(x).

解 设

2?f012(x)dx,

?10f2(x)dx?C,则f(x)?3x?C1?x2.有

?(3x?C011?x2)2dx?C,

23积分得3?C2?2C?C?C?3,或C?,

32所以f(x)?3x?31?x2,或f(x)?3x?例16(E11) 求ln(1?x)dx。

031?x2. 2?2x2dx 解：?ln(1?x)dx?xln(1?x)|?2?001?x211)dx ?ln2?2?(1?201?x ?ln2?2(x?arctax)n|10

? ?ln2?2?。

2122101

例17 (E12) 导出In????/20sinnxdx(n为非负整数)的递推公式.

?解 易见I0???20dx??2?20,I1??20sinxdx?1,当n?2时

?20?(n?1)In??20sinxdx???n?sinn?1xdcosx??sin??n?1xcosx????20sinn?2xcos2xdx

?(n?1)?20sinn?2x(1?sinx)dx?(n?1)2?20sinn?2xdx?(n?1)?20sinnxdx

?(n?1)In?2?(n?1)In

n?1In?2. n反复用此公式直到下标为 0 或 1，得 从而得到递推公式In?531??2m?12m?3??????,n?2m?2m2m?26422 In??2m2m?2642??????,n?2m?1753?2m?12m?1其中m为自然数.

??注: 根据例8的结果，有

?20sinxdx?n?20cosnxdx.

例18 利用上题结论计算解 令

??0xsin5dx。

2x?t，则dx?2dt 2x 0 0 ? ?2 t

于是

??0x4216sindx?2?2sin5tdt?2???.

0253155?

例19 求函数I(x)?x?1t(1?2lnt)dt在[1,e]上的最大值与最小值.

解 I?(x)?x(1?2lnx),令I?(x)?0,得驻点x?0,x?e?1/2?6.03.且I?(x)在[1,e]是恒大于0,故I(x)在[1,e]上单调增加.

当x?1时, I(x)取最小值，最小值为I(1)?0; 当x?e时, I(x)取最大值，最大值为I(e).

eee?121212?I(e)?t(1?2lnt)dt?(t?2tlnt)dt?t?2?tlnt?t??e2

112141??1?2??e?e即最大值I(e)?e2,最小值I(1)?0.

课堂练习

1.求定积分

?|sin?|d?.

??/2(1?2rcos??r2)2?/22.设f??(x)在[0, 1]上连续, 且f(0)?1,f(2)?3,f?(2)?5, 求

?xf??(2x)dx.

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