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第十八讲 数列与数表综合
内容概述
等比数列的概念与求和公式．求具有规律性的数列中的项被小整数除的余数．涉及分数与小数的，或综合性较强的数列与数表问题． 典型问题
1．有7根竹竿排成一行．第一根竹竿长1米，其余每根长都是前一根的一半． 问：这7根竹竿的总长是几米?
【分析与解】 我们先将7根竹竿的长度一一求出：1,,,,111111,,．
24816326411111163??????1(米)． 2481632646463 这7根竹竿的总长是1米．
64 它们的和为1?
2．甲、乙两厂生产同一种玩具，甲厂生产的玩具数量每个月保持不变，乙厂生产的玩具数量每个月增加一倍．已知一月份甲、乙两厂生产玩具的总数是98件，二月份甲、乙两厂生产玩具的总数是106件，那么乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在几月份?
【分析与解】 由二月份生产的玩具总数比一月份生产的玩具总数多出的件数是一月份乙厂生产的玩具数．
即一月份乙厂生产了106—98=8件，甲厂生产了98-8=90件．
乙厂生产的玩具数量每月增加一倍，有8?2?90，8?2?90，所以在4月后。即乙厂生产的玩具数量第一次超过甲厂生产的玩具数量在5月份．
3．在两位数10，11，…，98，99中，把每个被7除余2的数，如16，23，…等，改成1．6，2．3，…等，而其余的数不变．问：经过这样的改变之后，所有数的和是多少?
【分析与解】 在10?99之间，被7除2的数有16，23，…，93，共12个数．这些均缩小到原来的
4319，即缩小了． 1010所以经过这样的改变之后，所有数的和是(10+11+12+…+99)-=
9×(16+23+．．．+93) 10?10?99??90?29?16?93??12??4905?588.6?4316.4 102第十八讲 数列与数表综合 第 1 页 共 5 页
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即经过这样的改变之后．所有数的和是4316.4
4．在100以内与77互质的所有奇数之和是多少?
【分析与解】 77=7 ×11，则100以内不与7互质的奇数有7，7×3，7×5，7×7，7×9，7×11，7×13；11，11×3，11×5，11×7(注意与7×11重复)，11×9，共11个数． 这11个数的和为7×(1+3+5+…+13)+11×(1+3+5+7+9)-77
=7??1?13??7?11??1?9??5?77?541．
221?99???50=2500． 而100以内的奇数和为1+3+5+7+…+99=
2 所以，在100以内与77互质的所有奇数之和为2500-541=1959．
5．华罗庚金杯少年数学邀请赛，第一届在1986年举行，第二届在1988年举行，第三届在1991年举行，以后每两年举行一届．第一届华杯赛所在年份的各位数字和是A1=1+9+8+6=24．前二届所在年份的各位数字和是A2=1+9+8+6+1+9+8+8=50．问：前50届华杯赛所在年份的各位数字和A50等于多少?
【分析与解】 由题中所给规律知，前50届在20世纪内有7次赛事，在2l世纪内有43次赛事． 在20世纪内，已知A2=50，其余5届年份各位数字的和是5×(1+9+9)+(1+3+5+7+9)=95+25=120． 从而A7=A2+120=170．
在21世纪内的前45届年份的数字之和是：
2×45+(1+2+…+8)×5+(1+3+5+7+9)×9=495，前43届年份的数宰和是495-2-8-7-2-8-9=459． 于是A50=170+459=629．
6．黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13，…．擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998．那么，擦去的奇数是多少? 【分析与解】 1+3+5+…+89=
?1?89??45?2025?19982．
，
1+3+5+…+87=
?1?87??44?1938?19982 所以擦去的奇数是2025-1998=27．
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7．某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人?
【分析与解】 1月份共有3l天，所以这个车间的原有工人至少生产出了63×31=1953件，或增加3l的倍数，但因不超过1994件，所以工厂的原有工人生产了1953或1984件． 所以，后来调进的工人生产了1994—1953=41件，或1994—1984：10件产品．
易知后来调进的工人生产的产品总数是若干个连续的自然数的和，自然数的个数即是调入的天数n，连续的自然数中最小的那个数即是第一次调入的工人数．
有41=1×41，所以奇约数只有1和4l，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，41=20+21．所以调入的次数n=2，第一次调入的人数x=20，共调进人数x+n-1=20+2-1=21人： 10=2×5，所以奇约数只有1和5，这样的数只有一种表达为若干个连续自然数和的形式，10=1+2+3+4．所以调入的次数n=4，第一次调入的人数x=1，共调进人数x+n-1=1+4-1=4人．
所以为：调人2天，1月30日开始调入，共调进21人；调人4天，1月28日开始调入，共调进4人．
评注：一个合数，它奇约数的个数减去1是多少，那么它表达为若干个连续自然数和的种教也就是多少．
8．100这个数最多能写成多少个不同的自然数之和?(严格的应为非零自然数)
【分析与解】 要求尽可能多的不同自然数之和为100，则应使每个自然数都尽可能的小． 于是从1开始相加，有1+2+3+…+n=
n??n?1?． 2 当n=13时，1+2+3+…+13=91；当n=14时，1+2+3+…+14=105．
所以有1+2+3+…+11+12+(13+9)=1+2+3+…+11+12+22，这13个数的和恰好为100．
即100这个数最多能写成13个不同的自然数之和．
9．70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和．这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…．问最右边一个数被6除余几? 【分析与解】 观察这些数为0，1，3，8，2l，55，144，377,…
这些数除以6的余数依次为0，1，3，2，3，1，O，5，3，4，3，5，0，1, 3, … 即每12个数一循环，70÷12=5……lO，即为4．
所以最右边一个数被6除余4．
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10．一串数排成一行，它们的规律是这样的：头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，也就是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…．问：这串数的前100个数中有多少个偶数? 【分析与解】 注意观察不难发现每3个数中有1个偶数，这个规律不难解释，因为第一、二个数均是奇数，而每个数都是前两个数的和，所以第三个数为偶数，则第四个数为奇数，…． 100÷3=33……1，所以这串数的前100个数中有33个偶数．
11．有一串数如下：1，2，4，7，11，16，…．它的规律是：由1开始，加1，加2加3，……，依次逐个产生这串数，直到第50个数为止．那么在这50个数中，被3除余l的数有多少个?
【分析与解】 这串数除以3的余数列，与由1开始依次加1，2，0，1，2，0，1．…所得数串除以3的余数列相同，为
1，2，1，1，2，l，1，2，1，…
是以1，2，1三个数为周期的数串．也就是说从第1个数开始，每3个数中有2个数被3除余1．
有50÷3=16……2，所以有16×2+1=33个数被3除余1．
12．已知一串有规律的数:1,,,251334,那么，在这串数中，从左往右数，第10个数是多少?
382155 【分析与解】 每个分数的分子等于前一个分数的分母加分子，每一个分数的分母等于分子加前一个分数的分母，所以第6、7、8、9、10个分数依次为：
8923361015974181,,,, 144377987258467654181 所以第10个分数是．
6765
评注：我们把从第三项开始，每一项等于前两项之和的数列称为斐波那契数列，本题中如果将分子、分母依次排列为1，2，3，5，8，13，21，…得到的数列正是斐波那契数列． 13．观察下面的数表：
1； 121,； 12321,,； 1234321,,,； 123454221,,,,； 12345? ? ? ? ? ?
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根据前五行数所表达的规律，说明：向右的第几个?
1991这个数位于由上而下的第几行?在这一行中，它位于由左1949 【分析与解】 注意到，第一行的每个数的分子、分母之和等于2，第二行的每个数的分子、分母之和等于3，…，第五行的每个数的分子、分母之和等于6．
由此可看到一个规律，就是每行各数的分子、分母之和等于行数加1．
其次，很明显可以看出，每行第一个数的分母是1，第二个数的分母是2，……，即自左起第几个数，其分母就是几．
因此，个数．
19911991所在的行数等于199l+1949-1=3939．而在第3939行中，位于从左至右第19491949194911和，如图18-123511所示．第二次把两段半圆弧二等分，在分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和??，如图18-2所
6231151151??，示．第三次把4段圆弧二等分，并在4个分点旁标上相邻两分点旁所标两数的和1??，
32663614．今要在一个圆周上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点旁分别标上如图18-3所示．如此继续下去，当第八次标完数以后，圆周上所有已标数的总和是多少？
【分析与解】 因为增加的每个数都是原来相邻两个数之和，所以每次增加数的总和恰好是原来所有数总和的2倍，也就是说每次标完数后圆周上所有数的总和是前一步标完数后圆周上所有数的总和的3倍，于是，第八次标完数后圆周上所有数的总和是：
1?11?1822×3×3×3×3×3×3×3=． ???223??
15. 设1，3，9，27，81，243是6个给定的数，从这6个数中每次或者取一个，或者取几个不同的数求和(每个数只能取一次)，可以得到一个新数，这样共得到63个新数.如果把它们从小到大依次排列起来是1，3，4，9，10，12，…，那么，其中的第60个数是多少？
【分析与解】 最大的数(第63个数)是1+3+9+27+81+243=364，第60个数（倒数第4个数）是364-1-3=360.
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