1.6.1.2三角函数在航海、气象学中的应用

1.【题目】某港口水深y(米)是时间t (0≤t≤24，单位：小时)的函数，下面是水深数据：

t(小时) y(米) 0 10.0 3 13.0 6 9.9 9 7.0 12 10.0 15 13.0 18 10.1 21 7.0 24 10.0 据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似的看成正弦函数模型y＝Asin ωt＋B的图象．

(1)试根据数据表和曲线，求出y＝Asin ωt＋B的解析式；

(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间) 【考点】三角函数在航海、气象学中的应用

【解析】(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin ωt＋B的一个周期为12小时， 2ππ11

因此ω＝＝.又ymin＝7，ymax＝13，∴A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.

T622π

∴函数的解析式为y＝3sint＋10 (0≤t≤24)．

6

π

(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0,24]，

6π5ππ1π

2kπ＋，2kπ＋?，k＝0,1，∴t∈[1,5]或t∈[13,17]， ∴sint≥，t∈?66?626?所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．

π

【答案】（1）y＝3sint＋10 (0≤t≤24) （2）在港内停留的时间最多不能超过16小时．

6【难度】中档题 【题型】解答题 【来源】

2.【题目】设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是

( )

π

A．y＝12＋3sin t，t∈[0,24]

6π

t＋π?，t∈[0,24] B．y＝12＋3sin??6?C．y＝12＋3sin

π

t，t∈[0,24] 12

ππ

t＋?，t∈[0,24] D．y＝12＋3sin??122?【考点】三角函数在航海、气象学中的应用

【解析】在给定的四个选项A、B、C、D中我们不妨代入t＝0及t＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A. 【答案】A 【难度】基础题 【题型】选择题 【来源】

3.【题目】已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：

t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b. (1)根据以上数据，求函数y＝Acos ωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8∶00时至晚上20∶00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？ 【考点】三角函数在航海、气象学中的应用

2π2ππ

【解析】(1)由表中数据知周期T＝12，∴ω＝＝＝，

T126由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0. 1π

∴A＝0.5，b＝1，∴y＝cos t＋1.

26

1π

(2)由题知，当y>1时才可对冲浪者开放，∴cos t＋1>1，

26

ππππ

∴cos t>0，∴2kπ－

6262∵0≤t≤24，故可令①中k分别为0,1,2，得0≤t<3或9

∴在规定时间上午8∶00至晚上20∶00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动， 即上午9∶00至下午3∶00.

1π【答案】（1）y＝cos t＋1 （2）上午9∶00至下午3∶00

26

【难度】难题 【题型】解答题 【来源】

4.【题目】下表是芝加哥1951～1981年月平均气温(华氏).

月份 平均气温 月份 平均气温 1 21.4 7 73.0 2 26.0 8 71.9 3 36.0 9 64.7 4 48.8 10 53.5 5 59.1 11 39.8 6 68.6 12 27.7 以月份为x轴，x＝月份－1，以平均气温为y轴． (1)描出散点图．

(2)用正弦曲线去拟合这些数据． (3)这个函数的周期是多少？ (4)估计这个正弦曲线的振幅A.

(5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？ y－46πxπxy

①＝cos??； ②＝cos??； AA?6??6?y－46y－26πxπx③＝cos??； ④＝sin??.

A?6??6?－A【考点】三角函数在航海、气象学中的应用 【解析】(1)(2)如图所示．

T

(3)1月份的气温最低为21.4,7月份的气温最高为73.0，根据图知，＝7－1＝6，∴T＝

2(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6， ∴A＝25.8. (5)∵x＝月份－1，

∴不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，

πy26.0

代入①，得＝>1≠cos ，∴①错误；

A25.86

y－4626.0－46π

代入②，得＝<0≠cos ；∴②错误；

A25.86同理④错误．∴③最适合这些数据． 【答案】见解析 【难度】较难题 【题型】解答题 【来源】

5.【题目】设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：

t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________． 【考点】三角函数在航海、气象学中的应用

π

【解析】由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，故A＝3，k＝12，ω＝.

6又t＝0时，y＝12，所以φ＝0. π

【答案】y＝12＋3sint

6【难度】中档题 【题型】填空题 【来源】

6.【题目】 设y=f（t）是某港口水的深度y（米）关于时间t（时）的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t y 0 5.0 3 7.5 6 5.0 9 2.5 12 5.0 15 7.5 18 5.0 21 2.5 24 5.0 经长期观察，函数y=f（t）的图象可以近似地看成函数y=h+Asin（ωx+?）的图象．求该解析式。

【考点】三角函数在航海、气象学中的应用

【解析】根据题意，得∵f（3）=f（15）=7.5，为函数的最大值；f（9）=f（21）=2.5，为