新人教版八年级数学下册18.2.1 第1课时 矩形的性质 (2)

最新审定部编版，欢迎下载！ 18．2 特殊的平行四边形

18．2.1 矩 形 第1课时 矩形的性质

1．理解并掌握矩形的性质定理及推论；(重点)

2．会用矩形的性质定理及推论进行推导证明；(重点)

3．会综合运用矩形的性质定理、推论以及特殊三角形的性质进行证明与计算．(难点)

一、情境导入

如图，用四段木条做一个平行四边形的活动木框，将其直立在地面上轻轻地推动点D，你会发现什么？

可以发现，角的大小改变了，但不管如何，它仍然保持平行四边形的形状．

我们若改变平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，也就是我们早已熟悉的长方形，即矩形，如图所示．

二、合作探究

探究点一：矩形的性质

【类型一】 运用矩形的性质求线段或角 在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24cm，则AB长

为( )

A．1cm B．2cm C．2.5cm D．4cm

解析：在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°.根据矩形的性质得到△ABO≌△OCD，则OA＝OD，∠DAO＝45°，所以∠BOA＝∠BAO＝45°，即BC＝2AB.由矩形ABCD的周长为24cm，得2AB＋4AB＝24cm，解得AB＝4cm.故选D.

精品资料 最新审定部编版，欢迎下载！ 方法总结：解题时矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．

【类型二】 运用矩形的性质解决有关面积问题

如图，矩形ABCD的对角线的交点为O，EF过点O且分别交AB，CD于点E，F，则图

中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的( )

1113A. B. C. D. 54310

解析：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，OB＝OD，∴∠ABO＝∠CDO.在△BOE和△DOF中，∠ABO＝∠CDO，??

∴△BOE≌△DOF(ASA)，∴S?OB＝OD，

??∠BOE＝∠DOF，B.

方法总结：运用矩形的性质，通过证明全等三角形进行转化，将求不规则图形的面积转化为求简单图形面积是解题的关键．

【类型三】 运用矩形的性质证明线段相等 △BOE

＝S△DOF，∴S

阴影＝S△AOB＝

1

S4

矩形ABCD.故选

如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心、边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接

BE，过C点作CF⊥BE于F.求证：BF＝AE.

解析：利用矩形的性质得出AD∥BC，∠A＝90°，再利用全等三角形的判定得出△BFC≌△EAB，进而得出答案．

证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，∴∠AEB＝∠FBC.∵CF⊥BE，∴∠BFC＝∠A∠A＝∠CFB，??＝90°.由作图可知，BC＝BE.在△BFC和△EAB中，?∠AEB＝∠FBC，∴△BFC≌△EAB(AAS)，

??EB＝BC，∴BF＝AE.

方法总结：涉及与矩形性质有关的线段的证明，可运用题设条件结合三角形全等进行证明，一般是将两条线段转化到一对全等三角形中进行证明．

【类型四】 运用矩形的性质证明角相等 精品资料 最新审定部编版，欢迎下载！

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：

AE平分∠BAD.

解析：要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB＝BE.又AB＝CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定和矩形的性质，即可求证． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°.∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°.∴∠BFE＝∠CED，∴∠BEF＝∠EDC.在△EBF与△DCE∠BFE＝∠CED，??

中，?EF＝ED，∴△EBF≌△DCE(ASA)．∴BE＝CD.∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，

??∠BEF＝∠EDC，∴∠EAD＝45°，∴∠BAE＝∠EAD，∴AE平分∠BAD.

方法总结：矩形的问题可以转化到直角三角形或等腰三角形中去解决． 探究点二：直角三角形斜边上的中线的性质

如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点． (1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长； (2)求证：EF垂直平分AD.

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解析：(1)根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得DE＝AE＝AB，DF＝AF＝

22AC，再根据四边形的周长的公式计算即可得解；(2)根据“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”证明即可．

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(1)解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，DF

2211

＝AF＝AC＝×8＝4，∴四边形AEDF的周长＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；

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(2)证明：∵DE＝AE，DF＝AF，∴E、F在线段AD的垂直平分线上，∴EF垂直平分AD. 方法总结：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．

三、板书设计 1．矩形的性质

精品资料 最新审定部编版，欢迎下载！ 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 2．直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

通过多媒体演示知识的探究过程，让学生在体验、实践的过程中有更直观地认识，扩大认知结构，发展能力，更好地理解平行四边形与矩形之间的从属关系和内在联系，使课堂教学真正落实到学生的发展上．

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